He encontrado esta aproximación de que una versión anterior que he publicado en la sala de chat:
$$7 \pi -\text{Log}\left[\frac{7}{2} e^{-7 \pi /2}+\frac{5}{2} e^{-5 \pi /2}+\frac{3}{2} e^{-3 \pi /2}+e^{5 \pi /2}+2 \pi \right] = 14.13472514154629716253329494571302508888...$$
La primera no trivial zeta cero: $$14.13472514173469379045725198356247027078$$
Se puede mejorar en la fórmula de arriba?
Editar 2.9.2012
Basado en los comentarios de abajo me gustaría explicar cómo razonaba:
Cualquier serie de Taylor evaluados en $x=1$ es convergente para las variantes de que cuando se multiplica elemento sabio con las filas de esta matriz:
$$\begin{bmatrix} 0&0&0&0&0&0&0 \\ 1&-1&1&-1&1&-1&1 \\ 1&1&-2&1&1&-2&1 \\ 1&1&1&-3&1&1&1 \\ 1&1&1&1&-4&1&1 \\ 1&1&1&1&1&-5&1 \\ 1&1&1&1&1&1&-6 \end{bmatrix}$$
Muchas series de Taylor de la segunda fila como parte de sus coeficientes. Que es: $$(1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,...)$$
Tales series de Taylor son por ejemplo $\log 2$, $\sqrt 2$, $\cos 1$, $\sin 1$. La razón de la convergencia de dicha serie y divisibilidad definido variantes de de los mismos, parece ser que en la matriz anterior, un período de sumas a cero.
El más simple de la serie de Dirichlet que sumas a cero y no es un elemento sabio multiplicación de los otros dos de la serie de Dirichlet, es la primera fila:
$$\frac{0}{1}+\frac{0}{2}+\frac{0}{3}+\frac{0}{4}+\frac{0}{5}+... = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$
Esto sugiere que uno debe tratar de encontrar una expresión para un ejemplo de la secuencia.
La definición de un número elevado a un número complejo es:
$$n^{(a+ib)} = n^{a}(\cos (b \log (n))+i\sin (b \log (n)))$$
y la de Riemann zeta función es:
$$\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+...$$
donde $s$ es un número complejo.
Aquí luego hice un error. Empecé a estudiar la ecuación: $$\cos (\log (n)) = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$ con el fin de obtener algo similar a la de la serie de Dirichlet con numeradores iguales a todos los ceros de la secuencia en la expresión $(1)$ por encima. Pero si entiendo correctamente, esta sería la misma, como la búsqueda de la indefinidos secuencia:
$$\frac{1}{0}+\frac{1}{0}+\frac{1}{0}+\frac{1}{0}+\frac{1}{0}+\frac{1}{0}+\frac{1}{0}+$$
Después de que me acaba de decir que por la combinación de valores de las soluciones a la ecuación de $(2)$ uno podría encontrar una expresión para la zeta ceros.
Editar 23.12.2012: Para lo que vale. Aquí es cómo el cálculo real fue:
La primera de Riemann zeta cero es:
$$\Im(\rho _1)$$ $$=14.1347251417346937904572519836$$
Un número cercano a la primera de Riemann zeta cero es:
$$\frac{9 \pi }{2}$$ $$=14.1371669411540695730818952248$$
Ese número se puede dividir en:
$$\frac{9 \pi }{2} = 7 \pi -\log \left(e^{\frac{5 \pi }{2}}\right)$$
A ver lo que falta en el logaritmo he añadido un $x$ y solucionado la ecuación:
$$\text{Solve}\left[N\left[7 \pi -\log \left(x+e^{\frac{5 \pi }{2}}\right),30\right]=N[\Im(\rho _1),30],x\right]$$
Esto le da la solución:
$$\{\{x\to 6.297688980465813720589098\}\}$$
que está cerca de:
$$2\pi = 6.28318530717958647692528676656...$$
Sustituyendo $x$$2\pi$:
$$7 \pi -\log \left(e^{\frac{5 \pi }{2}}+2 \pi \right)$$
lo que está más cerca:
$$=14.1347307583914370155699744066$$
Algún pequeño número parece ser que faltan, el segundo armónico número podría ser:
$$7 \pi -\log \left(e^{-\frac{1}{2} (3 \pi )}+e^{\frac{5 \pi }{2}}+2 \pi \right)$$
que otra vez está más cerca:
$$=14.1347272795405950845865949010$$
La multiplicación de la cantidad por $\frac{3}{2}$
$$7 \pi -\log \left(\frac{3}{2} e^{-\frac{1}{2} (3 \pi )}+e^{\frac{5 \pi }{2}}+2 \pi \right)$$
aún más:
$$=14.1347255401197125097619679160$$
continuando con el truco con números similares:
$$7 \pi -\log \left(\frac{5}{2} e^{-\frac{1}{2} (5 \pi )}+\frac{3}{2} e^{-\frac{1}{2} (3 \pi )}+e^{\frac{5 \pi }{2}}+2 \pi \right)$$
obras:
$$=14.1347251642841507747886817861$$
y una vez más:
$$7 \pi -\log \left(\frac{7}{2} e^{-\frac{1}{2} (7 \pi )}+\frac{5}{2} e^{-\frac{1}{2} (5 \pi )}+\frac{3}{2} e^{-\frac{1}{2} (3 \pi )}+e^{\frac{5 \pi }{2}}+2 \pi \right)$$
funciona:
$$=14.1347251415462971625332949457$$
pero entonces yo no puedo ir más lejos.
Edit: 5.11.2013:
$$\frac{\sqrt{\frac{\Im(\rho _1)}{\pi }+\frac{1}{2}}}{\sqrt{5}}=0.999922272089659461895288929782$$
$$\frac{\Im(\rho _1)}{\pi }+\frac{1}{2}=4.99922275110473484848654142318$$
$\rho _1$ = primer riemann zeta cero = 14.134725141734693790457...
