Libre de $\mathbb{Z}_{2}$ acción en el plano

Question

Motivados por la siguiente pregunta que nos hacemos:

Hay una acción libre de $\mathbb{Z}_{2}$ por homeomorphism en $\mathbb{R}^{2}$?

Mentira grupos con no $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ acción

Answer 1

Tenemos un entero invariante de espacios topológicos, llamado la característica de euler. Esto tiene dos propiedades especiales, a saber, que para cubrir mapa de $X\to Y$, con fibra $F$,$\chi(X)=\chi(Y)|F|$. En este caso, si la acción es libre, el mapa de $\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2/\{gx=x\}=Q$ es una cubierta mapa con fibra de $\mathbb{Z}/(2)$, por lo que tenemos que $\chi(\mathbb{R}^2)=2\chi(Q)$, por lo que el $\chi(\mathbb{R}^2)$ es incluso. Pero usted puede fácilmente calcular que $\chi(\mathbb{R}^2)=1$, por lo que tenemos a nuestro contridiction!