Diferenciando $y=x^x$ con la definición formal de una derivada

Question

Un amigo y yo estábamos jugando con las derivadas, y aunque ambos conocemos el procedimiento para encontrar la derivada de $y=x^x$ con diferenciación logarítmica, es decir

$$y=x^x\\ \ln(y)=x\ln(x)\\ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\dfrac{1}{y}=1+\ln(x) \\ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y(1+\ln(x))\\ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x^x(1+\ln(x))$$

cuando intentamos hacerlo con la definición formal de la derivada, obtenemos esto

$$\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ \lim_{h \to 0}\frac{x^{x+h}-x^x}{h}\\ \lim_{h \to 0}\frac{x^xx^h-x^x}{h}\\ \lim_{h \to 0}\frac{x^x(x^h-1)}{h}$$ entonces sacamos el $x^x$ $$x^x\lim_{h \to 0}\frac{x^h-1}{h}$$

Luego, utilizando la regla de l'Hopital, diferenciamos con respecto a $h$ Así

$$\lim_{h \to 0} \frac{x^h-1}{h}\\ \lim_{h \to 0} \frac{x^h\ln(x)}{1}$$

y como $x^h$ se acerca a cero, obtenemos $\ln(x)$ para el límite

Juntando todo esto, tenemos

$$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x^x \ln(x)$$

y en algún momento, perdimos un $x^x$ . ¿En qué me he equivocado? ¿No se me permite tomar la derivada sólo con respecto a $h$ ?

Answer 1

Estos son los pasos $$ \frac{d}{dx}x^x=\lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^{x+h}-x^x}{h} =\lim_{h\to 0} \frac{\frac{d}{dh}(x+h)^{x+h}-\frac{d}{dh}x^x}{\frac{d}{dh}h} =\lim_{h\to 0} \frac{\frac{d}{dh}e^{\ln(x+h)^{x+h}}-0}{1} = \lim_{h\to 0} \frac{d}{dh}e^{(x+h)\ln(x+h)}=\lim_{h\to 0} e^{(x+h)\ln(x+h)}\frac{d}{dh}[(x+h)\ln(x+h)]= \lim_{h\to 0} (x+h)^{x+h}\left((x+h)\frac{d}{dh}\ln(x+h)+\ln(x+h)\frac{d}{dh}(x+h)\right) = \lim_{h\to 0} (x+h)^{x+h}\left(\frac{x+h}{x+h}+\ln(x+h)\right) = \lim_{h\to 0} (x+h)^{x+h}\left(1+\ln(x+h)\right)= x^x(1+\ln x)$$