¿Por qué no el uso de Lagrange, en lugar de Hamiltoniano no relativista QM?

Question

Cuando se estudió la mecánica clásica en el nivel de licenciatura, en el nivel de Taylor, estamos cubiertos de Hamilton, así como la mecánica de Lagrange.

Ahora, cuando hemos estudiado QM, en el nivel de Griffiths, siempre nos trató con Hamiltonianos no Lagrangians. ¿Por qué es eso? Sé que QFT y física de partículas confiar en cambio en los de Lagrange!!

1. Podría alguien proporcionar algunas ideas sobre por qué, parece que "sólo" Hamiltonianos se utilizan en la licenciatura de cc.

2. También sería genial si proporcionar algunas ideas sobre por qué "sólo" Lagrangians aparecen en la física de alta energía (KG de Lagrange, el Lagrangiano de Dirac, Modelo Estándar de Lagrange...etc)

Answer 1

Con el fin de utilizar Lagrangians en QM, uno tiene que usar la ruta integral de formalismo. Esto es generalmente no están cubiertos en un pregrado QM curso y, por tanto, sólo Hamiltonianos se utilizan. En la investigación actual, Lagrangians se usan mucho en la no-relativista de QM.

En relativista QM, uno utiliza tanto Hamiltonianos y Lagrangians. La razón Lagrangians son más populares es la que se establece el tiempo y el espacio de coordenadas en un mismo pie de igualdad, lo que hace posible escribir relativista teorías en forma covariante. El uso de Hamiltonianos, la invariancia relativista no es explícita y se puede complicar mucho las cosas.

Por lo tanto, el formalismo se utilizan en tanto relativista y no relativista y la física cuántica. Esta es la respuesta corta.

Answer 2

Como Weinberg puntos en su QFT libro, en el formalismo Hamiltoniano es fácil comprobar la unitarity de la teoría, porque unitarity está directamente relacionada con la evolución, mientras que en el formalismo Lagrangiano de las simetrías que mezcla el espacio con el tiempo son más explícitos. Por lo tanto el formalismo Hamiltoniano es generalmente más conveniente en la no-relativista y de galileo, las teorías cuánticas.

Answer 3

Yo diría que debido a la forma de resolver eficientemente los problemas así como de la pedagogía. Ambos se utilizan en ambos casos, sin embargo.

El operador Hamiltoniano enfoque pone énfasis en el espectro de aspectos de la mecánica cuántica, que el estudiante es introducido en este punto $-$ pero aquí es una de Lagrange

$$\mathcal{L}\left(\psi \mathbf{\nabla}\psi \dot{\psi}\right) = \mathrm i\manejadores\, \frac{1}{2} (\psi^{*}\dot{\psi}-\dot{\psi^{*}}\psi) - \frac{\manejadores^2}{2m} \mathbf{\nabla}\psi^{*} \mathbf{\nabla}\psi - V( \mathbf{r},t)\,\psi^{*}\psi$$

para la ecuación de Schrödinger $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi^{*}} - \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \psi^{*}}{\partial t}} - \sum_{j=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_j} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_j}} = 0.$$

El Lagrangiano (densidad) es especialmente relevante para la ruta integral de la formulación, y de alguna manera más cerca de llevar a cabo las simetrías de una teoría de campo. El teorema de Noether y así sucesivamente. $-$ pero recuerdo Peskin & Schröder libro sobre la teoría cuántica de campos se inicia con el Hamiltoniano enfoque y se introduce la ruta integral de los métodos de sólo 300 páginas.

Answer 4

Creo que el Hamiltoniano enfoque se enfatiza en pregrado, debido más a la costumbre y la influencia de Dirac, y no debido a alguna profunda razón matemática. El Hamiltoniano es también más fácil de enseñar, porque es compatible con la clásica intuiciones de tiempo.

Históricamente, Dirac argumentado fuertemente por la primacía de la Hamiltoniana, literalmente, hasta poco antes de su muerte. Mi propia interpretación de una oblicua reprimenda de la Lagrangiana que Dirac hecho en sus Conferencias sobre la Mecánica Cuántica (1966) (una gran lectura!) es que Dirac no estaba contento con la fama que Feynman fue adquiriendo, a pesar de Dirac fue siempre tan reservado en la expresión de descontento con otros físicos que es muy difícil decir con certeza. Dirac es minimizar el valor de Lagrange enfoque es, por supuesto, muy irónico, ya que era de Dirac, quien demostró por primera vez que el clásico de Lagrange se puede aplicar a QM, en un papel publicó en una oscura revista rusa. Fue el mismo papel que muchos años más tarde inspiró y desatado de Feynman notable QED trabajo.

Answer 5

En pocas palabras

1. Unitarity de la evolución operador U(t) es fácil de ver con el formalismo Hamiltoniano.
2. La invariancia de Lorentz de la S-matrix (matriz de dispersión) es fácil de ver con el formalismo de Lagrange.