Probar que si $\mathcal F \subseteq \mathcal G$ $\bigcap\mathcal G \subseteq\bigcap\mathcal F$

Question

Este es Velleman del ejercicio 3.3.13. Supongamos $\mathcal F $ $\mathcal G$ son familias de conjuntos y $\mathcal F \subseteq \mathcal G$. Demostrar que $\bigcap\mathcal G \subseteq\bigcap\mathcal F$.

Mi enfoque hasta ahora:

Deje $x$ ser un elemento arbitrario de $\bigcap\mathcal G$. A continuación, $x$ es un elemento de cada $A\in\mathcal G$. Para mostrar que $x$ tiene que ser un elemento de $\bigcap\mathcal F$ es suficiente para mostrar que no tiene que ser un elemento de cada $A\in\mathcal F$. Supongamos $A_0$ es un elemento arbitrario de $\mathcal F$. Debido a $\mathcal F \subseteq \mathcal G$ cualquier $A\in \mathcal F$ es un elemento de $\mathcal G$. Por lo $A_0 \in \mathcal G$. Desde $x$ es un elemento arbitrario de $\bigcap\mathcal G$, se deduce que el $x \in A_0$. Esto demuestra que todos los $x \in\bigcap\mathcal G$ va a ser un elemento de $\bigcap\mathcal F$.

Cualquier comentario, sugerencias y mejoras relativas a mi intento se agradece. Yo soy un novato, así que siéntase libre para bash es tan bueno como usted puede. Gracias de antemano.

Answer 1

Es correcto para mí. La prueba es muy detallado y encomiable riguroso-yo creo que es una buena cosa, dado que el resultado podría, a primera vista, parecer contrario a la intuición.

Para resaltar el contenido intuitivo de el resultado, deja que me presente de una manera menos formal, pero tal vez más esclarecedor argumento. Creo que de $\bigcap \mathcal G$ como el conjunto de todos los puntos que satisfacen todas las restricciones incorporadas por la familia de conjuntos de $\mathcal G$ (viz., dichos puntos deberán estar contenidos en cada $G\in\mathcal G$). Del mismo modo, $\bigcap \mathcal F$ es el conjunto de todos los puntos que satisfacen todas las restricciones incorporadas en $\mathcal F$. Desde $\mathcal F\subseteq\mathcal G$, $\mathcal F$ encarna menos restricciones. Por lo tanto, la condición de $\bigcap \mathcal F$ es, de hecho, más flojo que el de $\bigcap \mathcal G$, así que más puntos de paso. En otras palabras, si un punto borra todos los requisitos consignados por $\bigcap \mathcal G$, se debe a fortiori claro los requisitos menos estrictos encarnada por $\bigcap \mathcal F$. Esto implica que $\bigcap \mathcal G\subseteq \bigcap \mathcal F$.