Chern números de Espacio Proyectivo

Question

Considere la posibilidad de la $k$-ésima clase de chern $c_k:=c_k(\mathcal{T}_{\mathbb{P}^n})$ de la tangente gavilla de espacio proyectivo $\mathbb{P}^n=\mathbb{P}^n_\Bbbk$ más de algunos (algebraicamente cerrado, si quieres) campo de $\Bbbk$. Yo soy entonces preguntarse cuál es el grado de $\prod_{k=1}^n c_k^{\nu_k}$, dado que el $\sum_{k=1}^n k\nu_k=n$. Por ejemplo, yo ya sería feliz de ver cómo calcular $c_2c_1^{n-2}$.

Este es, sin duda bien conocido, pero no puedo encontrar una buena referencia para esto y no estoy muy cómodo pero de computación que yo, estoy buscando un buen ejemplo para tener un poco más de "manos en" la experiencia con chern números.

Answer 1

Edit: como implícitamente se señaló en la otra respuesta, me equivocaba cuando me afirmó que Milnor de la clase fue un hyperplane clase. Es el negativo de un hyperplane clase. Yo creo que fijo que la de abajo.

Escribir $a$ por la negativa de la cohomology de clase de un hyperplane. En Milnor del legendario libro "la Característica de las Clases", teorema 14.10 indica que el $k$th clase de Chern de la tangente gavilla de complejo proyectiva del espacio es $$c_k(\mathcal{T}_{\mathbb{P}^n})=\left( \begin{matrix} n+1 \\ k \end{matrix} \right) a^k.$$ Therefore the degree of the class corresponding to the partition of $n$ with multiplicity sequence $\nu$ es $$(-1)^n \prod \left( \begin{matrix} n+1 \\ k \end{matrix} \right)^{\nu_k}.$$ In particular, the degree of $c_2 c_1^{n-2}$ es $$\mathrm{deg}(c_2 c_1^{n-2})=(-1)^n (n+1)^{n-2} \left( \begin{matrix} n+1 \\ 2 \end{matrix} \right). $$

La prueba de Milnor del teorema 14.10 no es difícil (valió la pena para mí, trabajar un par de veces en mi propia): se utiliza el estándar de identificación de la tangente de un paquete con el paquete de homomorphisms de el universal (a veces, "tautológica") de paquete para su complemento ortogonal (de hecho, esta es precisamente la misma cosa como el de Euler secuencia, de manera que las dos respuestas son básicamente los mismos).