"Dejemos $G$ sea un grupo, y supongamos que $G=H \cup K$ , donde $H$ y $K$ son subgrupos. Demuestre que $H=G$ o $K=G$ ."
Dejemos que $h \in H$ y $k \in K$ . Entonces $hk \in H$ o $hk \in K$ (ya que cada elemento de $G$ está en $H$ o $K$ ). Si $hk=h'$ para algunos $h' \in H$ entonces $k=h^{-1}h'$ Así que $k \in H$ . Si $hk=k'$ para algunos $k' \in K$ entonces $h=k'k^{-1}$ para que $h \in K$ .
Si para todos $h \in H$ tenemos $h \in K$ o si para todos $k \in K$ tenemos $k \in H$ entonces $H \subseteq K$ o $K \subseteq H$ . Entonces, como $G=H \cup K$ debemos tener o bien $H=G$ o $K=G$ .
No estoy seguro de que el primer párrafo de mi "prueba" implique el segundo. He demostrado que para la arbitrariedad $h \in H$ , $h \in H$ y posiblemente $h \in K$ y similares para $k \in K$ . No sé cómo terminar (o quizás esta ruta no lleve a ninguna parte).
Si este camino no funciona, me gustaría que me dieran una pista sobre una nueva dirección a tomar.
Gracias.
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El problema de intentar pasar del primer párrafo al segundo es que sabes que $hk\in H$ o $hk\in K$ por cada $h\in H$ y $k\in K$ , pero no se puede distribuir este "por cada" a través de la disyuntiva lógica (la "o"); es decir, $$\forall h\in H,k\in K: (hk\in H\vee hk\in K)$$ no implica lógicamente $$(\forall h\in H,k\in K:hk\in H)\vee(\forall h\in H,k\in K:hk\in K),$$ y es esta última la que crea las premisas de su segundo párrafo.
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Se deduce fácilmente de las respuestas dadas en este tema .
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@anon , ¿Podría dar un ejemplo cuando la primera afirmación es verdadera pero la segunda es falsa? es complicado para mí, ¡cómo la primera no implica la otra!
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@FawzyHegab Parece que mi $1$ ste comentario hace una afirmación demasiado fuerte. Mi argumento implícito más amplio -que "para todos" no se distribuye en general sobre "o" y, por lo tanto, necesita ser justificado especialmente en este caso- sigue siendo cierto. He aquí una prueba de esta implicación particular: la primera afirmación dice que $HK\subseteq H\cup K$ . Pero $H\cup K\subseteq HK$ Así que $HK=H\cup K$ (suponga que es cierto). La segunda afirmación equivale a " $H\subseteq K$ o $K\subseteq H$ "; supongamos que esto es falso. Si $h\in H-K,k\in K-H$ entonces wlog $hk=h'\in H$ implica $k=h^{-1}h'\in (K\cap H)\cap(K-H)=\varnothing$ absurdo.
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@anon , gracias por tu respuesta , ahora veo tu punto de vista , "para todos" no se distribuye en general sobre "o" , pero en este caso se cumple que dicha distribución es válida como has demostrado. pero me pregunto si conoces un ejemplo en el que la distribución de "para todos" sobre "o" nos haga pasar de una afirmación verdadera a una errónea para demostrar que en general dicha distribución es correcta .
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@FawzyHegab Supongamos, por el bien del argumento, que todas las personas son masculinas o femeninas (en realidad, los seres humanos y los organismos en general son demasiado diversos y variados para que esto sea una verdad universal sin complicaciones). Entonces "para todas las personas x, x es macho o x es hembra" es verdadero, pero "todas las personas son macho o todas las personas son hembra" es falso.
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@anon , gracias por el ejemplo :)