Forma cerrada para $\int_1^\infty\frac{\operatorname dx}{\operatorname \Gamma(x)}$

Question

Es una forma cerrada para $$\int\limits_1^{+\infty}\frac{\operatorname dx}{\operatorname \Gamma(x)}$$ ¿se sabe?

He intentado encontrarla, pero todas las integrales conocidas que implican la función gamma (como la de $\log\Gamma(x)$ o similares) no parecen ser de mucha ayuda aquí, al igual que las representaciones estándar de $\Gamma(x)$ como productos o integrales infinitas. ¿Tal vez alguien se encontró con esta integral y recuerda una referencia?

Answer 1

Como dijo @Lucian en el comentario esta integral está relacionada con Constante Fransén-Robinson . Es decir, $$F = \int_{0}^\infty \frac{1}{\Gamma(x)}\, dx.$$

Se desconoce si $F$ puede expresarse de forma cerrada. Creo que por este hecho, tu problema tampoco tiene una forma cerrada conocida.

Puedo decir sólo algunos resultados sobre este problema. Podríamos escribir su integral en la forma

$$\int_{1}^\infty \frac{1}{\Gamma(x)}\, dx = \int_{0}^\infty \frac{1}{\Gamma(1+x)}\, dx.$$

Una aproximación numérica de la integral es ( A247377 )

$$2.2665345076998488350719638576782209184088297...$$

Ramanujan observado que

$$ \int_0^{\infty} \frac{w^x}{\Gamma(1+x)} \, dx = e^w - \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\exp(-we^y)}{y^2+\pi^2} \, dy.$$

Para $w=1$ La fórmula de Ramanujan da una forma alternativa de tu problema.

$$ \int_0^{\infty} \frac{1}{\Gamma(1+x)} \, dx = e - \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\exp(-e^y)}{y^2+\pi^2} \, dy.$$

Y por fin la última página de este papel también está relacionado.

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Podría obtener una conexión entre la constante de Fransén-Robinson y su integral. Si denotamos la constante de Fransén-Robinson con $F$ entonces

$$\int_{1}^\infty \frac{1}{\Gamma(x)}\, dx = F - \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\exp(-e^y) \cdot (1+e^y)}{y^2 + \pi^2} \, dy.$$

Pero no he podido encontrar una forma cerrada para esta integral. Por supuesto, es cierto que

$$\int_{0}^1 \frac{1}{\Gamma(x)}\, dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\exp(-e^y) \cdot (1+e^y)}{y^2 + \pi^2} \, dy.$$