¿Por qué es renormalization necesario en lo finito teorías?

Question

Michael Brown, hizo el siguiente comentario aquí:

La comprensión moderna de la renormalization (debido a Kadanoff, Wilson y otros) apenas es controversial y tiene en realidad nada que ver con los infinitos. Es necesario incluso en completamente finito teorías, pero el hecho de que las correcciones de los infinitos en QFT es un bono.

¿Alguien puede explicar qué significa esto?

Answer 1

He aquí una manera de interpretar esta norma (esto es, esencialmente, una elaboración de la observación del uso del Aprendizaje es un lío). La idea básica detrás de Wilsonian renormalization es que renormalization puede ser considerada como el proceso por el cual llegamos a entender cómo la teoría de la eficacia se comporta en diferentes escalas, como el impulso de las escalas. Descargo de responsabilidad: las matemáticas en esta respuesta es esquemático.

Considere la posibilidad de una teoría cuántica de campos $\phi$ con un fuerte impulso espacio de corte $\Lambda$. Tal QFT podría ser descrito, en el Euclideanized funcional de la imagen integral, por su función de partición \begin{align} Z(\mathbf u, \Lambda) = \int [d\tilde\phi]_0^\Lambda e^{-S[\mathbf u, \Lambda,\tilde\phi]} \end{align} Aquí, $\mathbf u = (u_1, \dots, u_n)$ representa los parámetros en que la acción de la teoría depende (como constantes de acoplamiento), $S[\mathbf u, \Lambda,\phi]$ es la distancia Euclídea de acción, y \begin{align} [d\tilde\phi]_{k_a}^{k_b} = \prod_{k_a<|k|<k_b}d\tilde\phi(k) \end{align} esquemáticamente denota la integración de los campos grados de libertad correspondientes a los impulsos entre el$k_a$$k_b$.

Ahora, vamos a cualquier número real $0<s\leq 1$ ser dado. Vamos a llamar a $s$ la "escala". A continuación, tomamos nota de que podemos dividir la integración funcional medida a una integración más momenta en el rango de $(0,s\Lambda)$ y en el intervalo $(s\Lambda, \Lambda)$, e imaginamos que la definición de un reescalado de la acción $S_s[\mathbf u, \Lambda,\phi]$ por \begin{align} e^{-S_s[\mathbf u, \Lambda, \phi]} = \int [d\tilde\phi]_{s\Lambda}^\Lambda e^{-S[\mathbf u, \Lambda,\tilde\phi]} \end{align} Ahora podemos escribir el original de la función de partición como una integral sobre sólo el impulso de los modos en el rango de $(0, s\Lambda)$, siempre que utilizamos la acción $S_s$; \begin{align} Z(\mathbf u, \Lambda) = \int [d\tilde\phi]_0^{s\Lambda} e^{-S_s[\mathbf u, \Lambda,\tilde\phi]} \end{align} y decimos que nos han "integrado" el mayor impulso de los modos. La acción $S_s$ ahora puede ser considerado como la acción que efectivamente rige la física para el impulso de las escalas por debajo de $s\Lambda$.

Vamos a llamar a $S_s$ la acción "en la escala de $s$". En algunas situaciones, la acción a escala de la $s$ simplemente puede estar relacionado con la acción original en escala de $s=1$ tomando los acoplamientos a depender de la escala de la $s$; \begin{align} S_s[\mathbf u, \Lambda, \phi] = S[\mathbf u_s, \Lambda, \phi_s] \end{align} Esto se refiere a menudo como la "ejecución de los acoplamientos." En otras palabras, el proceso de renormalization que conduce a la ejecución de los acoplamientos es simplemente el proceso por el cual se examina cómo la teoría de campo se comporta efectivamente a diferentes escalas; esto es conceptualmente distinta de la cuestión de la eliminación de los infinitos.