¿Por qué es tan importante la desigualdad de Cauchy-Schwarz?

Question

La desigualdad de Cauchy-Schwarz es $(a\cdot b)^2 \leq |a|^2|b|^2$ . Por qué se considera una desigualdad tan importante: citando mi libro de texto, es "una de las desigualdades más importantes de todas las matemáticas". Pero, ¿por qué? ¿No se deduce inmediatamente de la definición del producto punto? $a\cdot b = |a||b|\cos(\theta)$ ? E incluso si se define el producto punto de forma diferente, como por ejemplo $a\cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 +...$ pero sigue sin parecerme tan importante. Entonces, ¿qué hace que esta desigualdad en particular sea tan importante/interesante?

Answer 1

La desigualdad del triángulo es una aplicación de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. La desigualdad del triángulo es muy importante, especialmente porque es una condición para los espacios métricos. También es muy útil en la teoría de la probabilidad con respecto a la varianza de $Y$ donde $Y$ es una variable aleatoria. La desigualdad de Cauchy-Schwarz también es importante porque conecta la noción de producto interior con la noción de longitud.

Answer 2

La desigualdad de Cauchy-Schwarz es válida para una gama mucho más amplia de entornos que el espacio euclidiano bidimensional o tridimensional $\mathbb R^2$ o $\mathbb R^3$ .

De hecho, es válida para todo tipo de espacios en los que se define un producto interior (un concepto abstracto). Por lo tanto, se puede aplicar a las cosas limitadas en un amplio número de settigns.

Answer 3

Estas preguntas son bastante difíciles de responder. Una respuesta "La propiedad $A$ es muy importante, porque puede utilizarse para demostrar propiedades $B$ , $C$ y $D$ que son muy importantes" no aclara mucho, sino que plantea más preguntas sobre por qué son importantes estos últimos. Una definición de "resultado importante", que es la más fácil de entender para un no profesional, puede provenir de una estimación estadística: si contamos todos los resultados conocidos (teoremas, etc.) en análisis para ser $N$ y que $M$ sea el número de los que utilizan un resultado particular, por ejemplo la desigualdad de Cauchy-Schwarz, en su demostración más sencilla (es decir, sería mucho más difícil de demostrar sin ella), entonces $\frac{M}{N}$ puede servir como medida de importancia. Por supuesto, este tipo de estadísticas nunca se calculan de forma explícita, sino que son entendidas de forma intuitiva por un individuo que tiene conocimientos sobre un determinado tema, y los demás tienen que confiar en él hasta que acumulan sus propios datos estadísticos.

Los que dicen que la desigualdad de Cauchy-Schwarz es importante pueden referirse a que la relación $\frac{M}{N}$ para este resultado es relativamente alto en comparación con la media. Sin embargo, se puede argumentar que la desigualdad $x^2\ge 0$ , $\forall x\in\mathbb{R}$ es mucho más importante en este sentido.

Una alternativa ( cualitativo en lugar de cuantitativo ) manera de medir la importancia es quizás juzgar la influencia de una noción particular y la posibilidad de generalizarla a otras construcciones más generales, lo que ayuda a estudiarlas. En este sentido, la desigualdad CS es tan importante como la noción de norma que se generalizó desde el plano y el $3D$ espacio para $\mathbb{R}^n$ primero, y luego a un espacio vectorial abstracto, dando lugar a los espacios de Hilbert, a los espacios de Banach y a una enorme y muy exitosa área de las matemáticas llamada análisis funcional .

Answer 4

Bueno, con $$ a\cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 +... $$ es sólo la desigualdad de Cauchy. Luego hay una con integrales, la desigualdad de Buniakovskii. Finalmente una con productos internos abstractos, la desigualdad de Schwarz. Todas ellas son importantes.

Por ejemplo, para encontrar muchas aplicaciones, consulte el libro clásico Desigualdades por Hardy, Littlewood & Polya.