La transformada de Fourier y la desigualdad de Heisenberg.

Question

Me puede mostrar el siguiente lema.

Lema. Si $f$ es un valor real y continuamente diferenciable en a$\mathbb{R}$,$$\left(\int |f|^2\,dx\right)^2 \le 4\left(\int |xf(x)|^2\,dx\right)\left(\int |f'|^2\,dx\right).$$Por integración por partes, $$\int f^2(x)\,dx=xf^2(x)-\int x(f^2(x))'\,dx=xf^2(x)-2\int xf(x) f'(x)\,dx.$$ Si $\lim_{x\to\pm\infty} xf(x)^2 = 0$, entonces la desigualdad fácilmente de la siguiente manera por el uso de Cauchy–Schwarz desigualdad.

Pregunta. ¿Cómo puedo ver Heinsenberg la desigualdad es verdadera: no existe $c > 0$ que si $a$, $b \in \mathbb{R}$ y $f$$L^2$, luego$$\left(\int (x - a)^2 |f(x)|^2\,dx\right)\left(\int (u - b)^2 |\widehat{f}(u)|^2\,du\right) \ge c\left(\int |f(x)|^2\,dx\right)^2?$$What's the best constant $c$?

Answer 1

Definir la transformada de Fourier como $$ \hat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)e^{-2\pi ix\cdot\xi}\,\mathrm{d}x\etiqueta{1} $$ En esta respuesta, se demuestra que en la $\mathbb{R}^n$ $$ \|\xi\hat{f}\|_2\|xf\|_2\ge\frac{n}{4\pi}\|\sombrero{f}\|_2\|f\|_2\etiqueta{2} $$ Si definimos $\tau_yf(x)=f(x+y)$, luego $$ \begin{align} \widehat{\tau_yf}(\xi) &=\int_{\mathbb{R}^n}f(x+y)e^{-2\pi ix\cdot\xi}\,\mathrm{d}x\\ &=e^{2\pi iy\cdot\xi}\int_{\mathbb{R}^n}f(x)e^{-2\pi ix\cdot\xi}\,\mathrm{d}x\\ &=e^{2\pi iy\cdot\xi}\hat{f}(\xi)\tag{3} \end{align} $$ Entonces El Teorema de Plancherel y la transformada de Fourier de la Inversión dedar $$ \begin{align} \|(\xi-b)\hat{f}\|_2\|(x-a)f\|_2 &=\|\xi\tau_b\hat{f}\|_2\|x\tau_af\|_2\\ &=\|\xi e^{-2\pi ia\cdot\xi}\tau_b\widehat{\tau_af}\|_2\|x\tau_a f\|_2\\ &=\|\xi\tau_b\widehat{\tau_af}\|_2\|x\widehat{\widehat{\tau_a f}}\|_2\\ &=\|\xi\tau_b\widehat{\tau_af}\|_2\|xe^{-2\pi ib\cdot x}\widehat{\tau_b\widehat{\tau_a f}}\|_2\\ &=\|\xi\tau_b\widehat{\tau_af}\|_2\|x\widehat{\tau_b\widehat{\tau_a f}}\|_2\\ &\ge\frac{n}{4\pi}\|\tau_b\widehat{\tau_af}\|_2\|\widehat{\tau_b\widehat{\tau_a f}}\|_2\\ &=\frac{n}{4\pi}\|\hat{f}\|_2\|f\|_2\tag{4} \end{align} $$