Número de singulares $2\times2$ matrices con diferentes entero entradas

Question

Dado un entero $n$, ¿cuál es el número total de singular $2 \times 2$ matrices con distintos elementos de $\{0,1,\ldots,n\}$?

Ejemplo:

a) Por $n=6$, los números que se deben considerar son $\{0,1,2,3,4,5,6\}$. Para la válida matrices cuyos determinantes de la igualdad de $0$ son:

1) $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \\ \end{vmatrix}=0$$ 2) $$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \\ \end{vmatrix}=0$$ 3) $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 3 \\ \end{vmatrix}=0$$ 4) $$\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6 \\ \end{vmatrix}=0$$ ,etc

como estos hay 16 posibles formas para n=6, por Lo que la respuesta es 16

b)Para n=50 hay 5824 maneras

c) Para n=24, hay 920 maneras

Así Que necesito saber la forma de evaluar este problema

Answer 1

Aquí empieza: Si $\begin{vmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{vmatrix}=0$ también $\begin{vmatrix}a_{\sigma(1)}&a_{\sigma(2)}\\a_{\sigma(3)}&a_{\sigma(4)}\end{vmatrix}=0$ donde $\sigma\in D_8\subset S_4$ con $$D_8:=\langle(1\ 2\ 4\ 3),(1\ 4)\rangle.$$ Esta es la máxima de los subgrupos de $S_4$ para que este tiene, ya que claramente no es para todos los $\sigma\in S_4$. Debido a que las entradas de las matrices son distintas, el número de soluciones es un múltiplo de a $|D_8|=8$. Cada matriz con determinante cero permite una única permutación $\sigma\in D_8$ tal que $$a_{\sigma(1)}<a_{\sigma(2)}<a_{\sigma(3)},$$ y de $a_1a_4=a_2a_3$ sigue sin pérdida de generalidad que $$a_1<a_2<a_3<a_4.$$

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EDIT: Inspirado por la mfl de la respuesta aquí un poco de trabajo en progreso (gotta run):

Deje $\left(\begin{smallmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{smallmatrix}\right)$ ser una matriz. Luego, después de una permutación $\sigma\in D_8$ de las entradas $a_1<a_2<a_3<a_4$$a_1a_4=a_2a_3$, lo $a_3=ca_1$ $a_4=ca_2$ para algunos escalares $c$. Debido a $ca_1$ $ca_2$ son enteros existe un entero $b$ tal que $c=\tfrac{b}{d}$ donde $d:=\gcd(a_1,a_2)$. Debido a $a_2<a_3=ca_1$ $ca_2=a_4\leq n$ se sigue que $$d\frac{a_2}{a_1}<b\leq d\frac{n}{a_2}.$$ Tenga en cuenta también que $a_1\neq0$ porque $a_3>a_2>0$, lo $a_1\geq1$$a_2>1$,$a_2\leq n-2$.

Por el contrario, si $a_1$, $a_2$, y $b$ son enteros tales que $1<a_2\leq n-2$ $1\leq a_1<a_2$ y $$d\frac{a_2}{a_1}<b\leq d\frac{n}{a_2},$$ donde de nuevo $d=\gcd(a_1,a_2)$, $a_3:=\tfrac{b}{d}a_1$ $a_4:=\tfrac{b}{d}a_2$ satisfacer $a_1a_4=a_2a_3$ y $$a_3=\frac{b}{d}a_1>\frac{a_2}{a_1}a_1=a_2\qquad\text{ and }\qquad a_4=\frac{b}{d}a_2\leq\frac{n}{a_2}a_2=n,$$ y, por supuesto, $a_3<a_4$ porque $a_1<a_2$, lo $a_1<a_2<a_3<a_4$. Así que ahora podemos contar con las soluciones.

El número de enteros $b$ en el intervalo de $(d\tfrac{a_2}{a_1},d\tfrac{n}{a_2}]$ es precisamente $$\lfloor d\frac{n}{a_2}\rfloor-\lfloor d\frac{a_2}{a_1}\rfloor,$$ cuando el intervalo es no vacío, es decir, para cuando $d\tfrac{n}{a_2}-d\tfrac{a_2}{a_1}\geq0$, o, equivalentemente,$a_1\geq\tfrac{a_2^2}{n}$. Por lo que el número de soluciones es $$\sum_{a_2=2}^{n-2}\sum_{a_1=\lceil\tfrac{a_2^2}{n}\rceil}^{a_2-1} \lfloor d\frac{n}{a_2}\rfloor-\lfloor d\frac{a_2}{a_1}\rfloor.$$