¿Cómo podemos mostrar que la función que es su propia derivada es exponencial?

Question

En mi clase de cálculo, para mostrar que $\frac{d}{dx}e^x=e^x$ nos hizo algo como esto:

$$\lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h} - a^x}{h} = a^x \lim_{h \to 0} \frac{a^h-1} h,$$

y luego nos definen $e$ a ser la base de la $a$ que hace que el límite de

$$\lim_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}$$

igual a $1$. Ahora, mi pregunta es esta: ¿cómo podemos saber de antemano que la función que es su propia derivada es una función exponencial? En otras palabras, si tenemos

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f(x),$$

¿cómo sabemos $f(x)$ es de la forma $ka^x$ (sin tener en cuenta el caso trivial $f(x) = 0$)? ¿Cómo podemos demostrar que no hay funciones de otras formas que dan el mismo resultado?

Answer 1

Si $f'=f$, tome $g(x)=f(x)e^{-x}$. A continuación, $g'(x)=f'(x)e^{-x}-f(x)e^{-x}=0$ $g$ es constante. La constante es $g(0)=f(0)$. Por lo tanto, $f'=f$ implica $f(x)=f(0)e^{x}$.

Answer 2

Sugerencia. Si $f$ es una función de este tipo, a continuación, calcular la derivada de $f(x)/e^x$ proporciona información útil sobre la $f$.

Answer 3

OK, por lo que nos es dada por la ecuación diferencial $$f'(x)=f(x) \tag{1}$$ Por supuesto, esto implica que $f$ es diferenciable.

Primero vamos a hacer la observación de que cuando $f(x)$ es una solución para esta ecuación diferencial, entonces para arbitrario $s,c\in\mathbb R$, $$g(x) = s\,f(x-c) \tag{2}$$ también es una solución.

También hay que echar un vistazo a la forma general de las soluciones que puede tener. Si en algún $x$, $f(x)>0$, a continuación, debido a la continuidad que ha $f(x)>0$ en algunos de vecindad. Desde $f'(x)=f(x)$ esto también implica que $f(x)$ es monótonamente creciente en ese barrio. Claramente si es positivo y creciente, no puede llegar a $0$ para cualquier valor mayor de $x$. De forma análoga, si es que en cualquier parte negativa, seguirá siendo negativo para todos los mayores $x$.

Así tenemos por ahora restringido las posibles soluciones a las funciones de uno de los siguientes tipos:

• La función está en todas partes estrictamente positivo y monótonamente creciente.

• O de la función es cero para todos los $x\le x_0$, y estrictamente positiva para todos los $x>x_0$ (a $x_0$ si tiene que ser $0$ debido a la continuidad, como un límite de la izquierda debe reproducir el valor de la función).

• O de la función es cero en todas partes.

• O la función es la negativa de uno de los dos primeros tipos.

Por supuesto, la función constante $f(x)=0$ es una solución de $(1)$. Si hay otras soluciones, debe haber al menos un $x$, de modo que $f(x)\ne 0$. Porque de $(2)$ por lo tanto podemos suponer wlog que $f(0)=1$. También, para mayor comodidad, para definir el primer caso $x_0=-\infty$.

Ahora suponga $f(x)\ne 0$. A continuación, $f(x+1)/f(x)$ está bien definida en una vecindad, y hemos $$\begin{align} \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\,\frac{f(x+1)}{f(x)} &= \frac{f(x)f'(x+1) - f(x+1)f'(x)}{f(x)^2}\\ &= \frac{f(x)f(x+1) - f(x+1)f(x)}{f(x)^2} = 0\tag{3} \end{align}$$ En otras palabras, $f(x+1)/f(x)$ es una constante. Esto es válido para todas las $x>x_0$.

Así que ya hemos asumido que $f(0)=1$, tenemos $f(1)=f(0+1)=af(0)=a$, $f(2)=a(1+1)=af(1)=a^2$. También, suponiendo que $x_0<-1$, $af(-1)=f(0)$, por lo $f(-1)=a^{-1}$ etc. O en definitiva, para cualquier $n\in\mathbb Z$ con $n>x_0$, $f(n)=a^n$.

Pero luego, en $(3)$, en lugar de $f(x+1)$ podríamos haber utilizado $f(x+1/k)$ con el mismo resultado, dando a $f(n/k)=b^n$. Para $n=k$, por lo tanto, obtener $a = f(1) = f(k/k) = b^k$, $b=a^{1/k}$. Así que en resumen, tenemos para todos los $q\in\mathbb Q$ $q>x_0$ que $f(q)=a^q$.

Pero desde $f$ es diferenciable, en particular, es continua, y por lo tanto determinada por sus valores en los puntos racionales. Y desde $a^x$ es continua, también, conseguimos $f(x)=a^x$ todos los $x\in\mathbb R$$x>x_0$.

La continuidad de la $a^x$, entonces también implica $\lim_{x\to x_0+0}f(x) = \lim_{x\to x_0+0}a^x = a^{x_0}$. Sin embargo, dado que por hipótesis de $f(x)$ es continua, $\lim_{x\to x_0+0}f(x) = f(x_0)$. Pero previamente hemos visto, también por la continuidad, que $f(x_0)=0$. Puesto que la ecuación $0=a^{x_0}$ no tiene solución en $\mathbb R$, esto significa que el segundo caso no se puede aplicar, y la función, por tanto, es estrictamente positiva en todas partes, y por lo tanto es $a^x$ en todas partes.

En otras palabras, la función es una función exponencial.

Answer 4

En primer lugar, observe que

• Con el fin de mostrar que el $\dfrac d {dx} a^x = ( a^x\cdot\text{constant}),$ usted no necesita mostrar que sólo exponencial funciones satisfacen la ecuación de $f'(x) = \big(f(x)\cdot\text{constant}\big).$
• Ya se ve en el discretos caso de que las funciones exponenciales crecer a una tasa proporcional a su tamaño actual: $$\frac{\Delta 2^x}{\Delta x} = \frac{2^{x+1} - 2^x}{1} = 2^x.$$

Para mostrar que no hay otras funciones satisfacen $f'(x) = f(x),$ puede ser hecho por suponer $f$ es una función de este tipo y teniendo en cuenta $$g(x) = \frac{f(x)}{e^x}.$$ Entonces $$g'(x) = \frac{e^x f'(x) - f(x) e^x }{e^{2x}} = \frac{f'(x) - f(x)}{e^x} = \frac{f(x)-f(x)}{e^x} = 0.$$ Si $g'(x) = 0$ para todos los valores de$x$, $g$ es consant, por lo $g(x) = \Big( f(x)\cdot \text{constant}\Big).$

Tenga en cuenta que el valor medio teorema fue tácitamente utilizado anteriormente: se utiliza en la prueba de que las funciones cuyas derivadas son todas partes $0$ son constantes.

Answer 5

Así que, esencialmente, estamos buscando la solución a la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}=y$ donde $y=f(x)$. Esto puede ser resuelto mediante el uso de la separación de variables $\frac{dy}{y}=dx$ y luego integramos ambos lados y resolver para $y$ y consigue $ke^x$ ahora cuando se resuelve una ecuación diferencial hay algo acerca de una singularidad de la solución y que todas las soluciones son contenidas por el cambio de la constante de $k$. Por lo tanto, usted sabe que las únicas funciones donde $y=y'$ están en el formulario de $ke^x$