¿Por qué el producto de dos matrices de rotación no es conmutativo?

Question

¿Existe alguna intuición de por qué las matrices de rotación no son conmutativas? Supongo que la rotación final es la combinación de todas las rotaciones. ¿Entonces, importa en qué orden se aplican las rotaciones?

Answer 1

Aquí hay una imagen de un dado:

Ahora vamos a girarlo $90^\circ$ en sentido horario. El dado muestra ahora

Después de eso, si volteamos la cara izquierda hacia arriba, el dado se posa en

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Ahora, hagámoslo al revés: Empezamos con el dado en la misma posición:

Voltea la cara izquierda hacia arriba:

y luego $90^\circ$ en sentido horario

Si lo hacemos de una manera, terminamos con el $3$ en la parte superior y $5, 6$ frente a nosotros, mientras que si lo hacemos de la otra manera terminamos con el $2$ en la parte superior y el $1, 3$ frente a nosotros. Esto demuestra que las dos rotaciones no son conmutativas.

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Dado que muchos en los comentarios han llegado a la conclusión de que esta no es una respuesta completa, aquí hay algunas reflexiones más:

• Observa lo que sucede con el número superior del dado: En el primer caso cambiamos el número que está en la cara izquierda, y luego volteamos la nueva cara izquierda hacia arriba. En el segundo caso primero volteamos la antigua cara izquierda hacia arriba, y después cambiamos lo que está en la cara izquierda. Esto hace que dos números diferentes estén hacia arriba.
• Como mencionó leftaroundabout en un comentario a la pregunta misma, el hecho de que las rotaciones no sean conmutativas no es realmente algo notable. El hecho de que sí sean conmutativas en dos dimensiones sí es notable, pero preguntar por qué no son conmutativas en general no es muy fructífero aparte de una demostración concreta.

Answer 2

Las matrices conmutan si preservan los espacios propios de cada una: hay un conjunto de eigenvectores que, tomados en conjunto, describen todos los espacios propios de ambas matrices, en posiblemente particiones variables.

Esto tiene sentido intuitivo: esta restricción significa que un vector en el espacio propio de una matriz no abandonará ese espacio propio cuando se aplique la otra, por lo que la transformación de la matriz original seguirá funcionando bien en él.

En dos dimensiones, sin importar qué, los eigenvectores de una matriz de rotación son $[i,1]$ y $[-i,1]$. Así que dado que todas esas matrices tienen los mismos eigenvectores, conmutarán.

Pero en tres dimensiones, siempre hay un valor eigenreal para una matriz real como una matriz de rotación, por lo que ese valor eigenreal tiene asociado un eigenvector real: el eje de rotación. Pero este eigenvector no comparte valores con el resto de los eigenvectores para la matriz de rotación (¡porque los otros dos son necesariamente complejos)! Así que el eje es un espacio propio de dimensión 1, por lo que las rotaciones con ejes diferentes no pueden compartir eigenvectores, por lo que no pueden conmutar.

Answer 3

Aquí hay una explicación pictórica equivalente a la respuesta de Arthur:

(Fuente de la imagen: Benjamin Crowell, Relatividad General, p. 256.)

Answer 4

¿En el espacio 3D por qué no son conmutativos?

Porque se pueden exhibir dos rotaciones $a,b$ tales que $a\circ b\neq b\circ a$.

Toma, por ejemplo, $a$ como una rotación de $90$ grados en sentido antihorario alrededor del eje $x$ y $b$ como una rotación de $90$ grados en sentido antihorario alrededor del eje $y$.

Haciendo $a\circ b$ mapea el eje $x$ en el eje $y$, pero $b\circ a$ mapea el eje $x$ en el eje $z$.

Answer 5

Consideremos el grupo de permutaciones de 3 objetos en una línea generado por dos 'rotaciones' $r,s$, donde $r$ intercambia los dos primeros en la línea y $s$ intercambia los dos últimos en la línea.

$r(1,2,3) = (2,1,3)$.

$s(1,2,3) = (1,3,2)$.

Nota que $rs \ne sr$ ya que:

$rs(1,2,3) = (3,1,2)$.

$sr(1,2,3) = (2,3,1)$.

Ahora puedes preguntarte, ¿qué tiene que ver esto con las 'rotaciones reales' en el espacio? De hecho, este es precisamente el mismo fenómeno que el ejemplo de los dados dado por Arthur. ¡Los 3 objetos son los 3 ejes ortogonales (no dirigidos) que son perpendiculares a las caras, y las dos rotaciones mencionadas intercambian de hecho diferentes pares de ejes!