El subconjunto más denso de $\mathbb{R}$

Question

No estoy seguro de que lo que busco tenga sentido (o) exista. En cualquier caso, me gustaría que alguien pudiera aclarar mi confusión.

El conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ se obtiene como finalización de $\mathbb{Q}$ . Sin embargo, $\mathbb{Q}$ no es el único conjunto que es denso en $\mathbb{R}$ . $\mathbb{Q} \backslash \mathbb{Z}$ también es un subconjunto denso de $\mathbb{R}$ . Me pregunto si tiene sentido hablar del subconjunto denso "más pequeño" de $\mathbb{R}$ . Para expresar con precisión lo que estoy buscando y lo que quiero decir con lo más pequeño, estoy buscando un conjunto denso $A$ de $\mathbb{R}$ de manera que si $B$ es un subconjunto propio de $A$ entonces $B$ no es denso en $\mathbb{R}$ . Soy capaz de "ver" que el conjunto $A$ que busco no existe ya que cualquier intervalo abierto está formado por infinitos racionales. Pero no soy capaz de argumentar con precisión a mí mismo y convencer por qué $A$ no existe. ¿Podría alguien arrojar más luz sobre esto?

Answer 1

Si $A$ es un subconjunto denso de $\mathbb{R}$ entonces $A\neq \emptyset$ . En particular, existe un elemento $a\in A$ . Si $B=A\setminus \{a\}$ , entonces es $B$ denso en $\mathbb{R}$ ? (Pista: si hay un subconjunto abierto $U$ de $\mathbb{R}$ tal que $U\cap A=\{a\}$ entonces $A$ no es denso en $\mathbb{R}$ .)

Ejercicio 1 : Demuestre o dé un contraejemplo: una intersección finita de subconjuntos densos de $\mathbb{R}$ es denso en $\mathbb{R}$ .

Ejercicio 2 : Demostrar o dar un contraejemplo: si $\{A_i\}_{i\in I}$ ( $I$ es un conjunto índice) es una colección infinita de subconjuntos densos de $\mathbb{R}$ tal que la intersección de cualquier número finito de $A_i$ es de nuevo denso en $\mathbb{R}$ entonces la intersección de todas las $A_i$ 's denso en $\mathbb{R}$ . (Si desea ver una pista, pase el cursor por la región gris que aparece justo debajo:

(Sugerencia: si $x\in \mathbb{Q}$ , dejemos que $A_x=\mathbb{Q}\setminus \{x\}$ ; demostrar que la intersección de cualquier número finito de $A_x$ es denso en $\mathbb{R}$ y determinar la intersección $\bigcap_{x\in\mathbb{Q}} A_x$ .)

Ejercicio 3 : Si $A$ es denso en $B$ y si $B$ es denso en $\mathbb{R}$ , $A\subseteq B\subseteq \mathbb{R}$ , entonces es $A$ denso en $\mathbb{R}$ ?

Ejercicio 4 (si estás familiarizado con la teoría de la medida): Sea $\epsilon>0$ . Demostrar que existe un subconjunto denso abierto $U$ de $\mathbb{R}$ tal que la medida de Lebesgue de $U$ es como máximo $\epsilon$ . (Si desea ver una pista, pase el cursor por la región gris que aparece justo debajo:

(Sugerencia: enumerar $\mathbb{Q}$ como $q_1,q_2,\dots$ . Si $n\in\mathbb{N}$ , dejemos que $I_n=(q_n-\frac{\epsilon}{2^{n+1}},q_n+\frac{\epsilon}{2^{n+1}})$ ; demostrar que la unión $\bigcup_{n\in\mathbb{N}} I_n$ es un subconjunto denso abierto de $\mathbb{R}$ y determinar la medida de Lebesgue de $\bigcup_{n\in\mathbb{N}} I_n$ .)

Ejercicio 5 (si se está familiarizado con los espacios topológicos conectados por trayectorias): Si $U$ es un subespacio abierto conectado a la trayectoria de $\mathbb{R}$ y si $U$ es denso en $\mathbb{R}$ entonces demuestre que $U=\mathbb{R}$ .

Espero que esto ayude.

Answer 2

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico separado y sin puntos aislados: es decir, para todo $x \in X$ el conjunto único $\{x\}$ está cerrado y no abierto. Dejemos que $Y$ sea un subconjunto denso de $X$ .

CIERTO: Para todo subconjunto abierto no vacío $U$ de $X$ , $U \cap Y$ es infinito.

Prueba: Primero observe que $U$ es infinito: si no lo es, la eliminación de todos sus puntos menos uno daría lugar a un conjunto abierto único. Entonces, de forma similar, si $U \cap Y$ fuera finito, la eliminación de todos sus puntos dejaría un subconjunto abierto no vacío de $X$ que es disjunta de $Y$ , contradiciendo la densidad de $Y$ .

Se deduce inmediatamente de la afirmación que la eliminación de cualquier número finito de puntos de $Y$ nos deja un subconjunto que sigue cumpliendo con cada subconjunto abierto no vacío de $X$ por lo que sigue siendo denso. En particular, no hay ningún subconjunto denso mínimo de $X$ .

En particular, el argumento se aplica a cualquier espacio métrico sin puntos aislados, como $\mathbb{R}$ . Es un buen ejercicio comprobar que las dos hipótesis impuestas a $X$ son necesarios. Especialmente, en un espacio no separado se pueden tener subconjuntos densos de un solo elemento: estos se llaman puntos genéricos y son omnipresentes (y útiles) en la geometría algebraica.