¿Qué sucede si el conjunto singleton no está cerrado?

Question

Estoy leyendo a Munkres y ahora estoy aprendiendo los axiomas de separación.

Cuando comienza a discutir regularidad y normalidad, él dice "Suponga que los conjuntos de un punto son cerrados en $X$". Nuestro profesor tampoco explicó mucho en clase.

Así que estoy bastante curioso por saber qué sucede si el conjunto de un solo punto no es cerrado. ¿Será abierto en algunos casos o ni abierto ni cerrado?

También no puedo pensar en un ejemplo de tal espacio.

Para $ x\in X$, $\overline{\lbrace x\rbrace}=\lbrace x\rbrace$ no parece depender de la topología o del conjunto.

Cualquier explicación será apreciada.

Answer 1

Considera $X=\mathbb N$ y llama a $U\subseteq X$ abierto si y solo si $U=\emptyset$ o $U=[n,\infty)=\{\,x\in \mathbb N\mid x\ge n\,\}$ para algún $n$. En esta topología, el conjunto unitario $\{1\}=X \setminus [2,\infty)$ es cerrado, mientras que $\{2\}$ no es cerrado (y tampoco abierto); el cierre de $\{2\}$ es $\{1,2\}$.

Answer 2

Si un singleton $\{x\}$ no está cerrado, lo que realmente significa es que la red constante $\langle x\rangle$ tiene más de un punto límite. Independientemente de si $\{x\}$ es abierto o no.

Podría, por ejemplo, ser denso, en cuyo caso cada punto será un punto límite. Por ejemplo si consideramos $(X,\tau)$ donde $\tau=\{X,\varnothing\}$. Si $X$ no es un singleton en sí mismo, entonces ningún punto individual está cerrado, ya que $X\setminus\{x\}$ nunca es abierto. Pero esto significa que si $x,y\in X$ son dos puntos cualesquiera, entonces para cada vecindario abierto de $y$, también podemos encontrar a $x$. Por lo que $\overline{\{x\}}=X$.

Puedes notar que en la topología $\{X,\varnothing,\{x\}\}$, el singleton $\{x\}$ es abierto y denso; y si $y\neq x$ entonces $\overline{\{y\}}=X\setminus\{x\}$. Por lo tanto, los singletons que son abiertos y "simplemente no cerrados" pueden ser "bastante densos".

Entonces, si los singletons no están cerrados, $(X,\tau)$ no es un espacio de Hausdorff, por lo tanto no es un espacio métrico, y así sucesivamente. Pero incluso podemos decir más, no es un espacio $T_1$, ya que ser $T_1$ es lo mismo que los singletons sean cerrados.

Answer 3

Un buen contraejemplo es el espacio de Sierpiński $S=\{0,1\}$ con la topología $\big\{\varnothing,\{1\},\{0,1\}\big\}$: en este espacio, el conjunto $\{0\}$ es cerrado, pero el conjunto $\{1\}$ no lo es: el único entorno abierto de $0$ es $\{0,1\}$, que contiene a $1$, por lo que $0\in\operatorname{cl}\{1\}$.

Un espacio $X$ con la propiedad de que $\{x\}$ es cerrado para cada $x\in X$ se dice que es un espacio $T_1$, a pesar de que la propiedad $T_1$ generalmente no se define de esta manera.

Definición. Un espacio $X$ es $T_1$ si siempre que $x$ e $y$ son puntos distintos de $X$, existen conjuntos abiertos $U$ y $V$ tales que $x\in U$ y $y\notin U$, y $y\in V$ y $x\notin V.

Un buen (y bastante fácil) ejercicio es demostrar que esto es equivalente a decir que $\{x\}$ es cerrado para cada $x\in X$.

Answer 4

Consider $X=\left\{a,b,c\right\}$. Vamos a definir una topología en $X$ definiendo todos los conjuntos abiertos. Ponga $\tau=\left\{\emptyset, X, \left\{a,b\right\},\left\{c\right\}\right\}$. Compruebe que $\tau$ efectivamente determina una topología. Note que el punto $\left\{a\right\}$ no es ni abierto ni cerrado.

Answer 5

Un ejemplo es el espacio indiscreto, donde solo todo el espacio y el conjunto vacío son abiertos (y por lo tanto cerrados) - así que, si hay más de un punto, los singletons no serían cerrados. Este espacio tiene la propiedad de que todos los pares de puntos $x,y$ son topológicamente indistinguibles - lo que significa que si $S$ es un conjunto abierto entonces $x\in S$ si y solo si $y\in S$ - es decir, la topología no proporciona información para distinguirlos, lo que lo hace algo trivial - sin embargo, se pueden encontrar espacios donde los puntos son topológicamente distinguibles, pero donde los singletons no son cerrados (y muchas de las otras respuestas hacen esto, así que no proporcionaré ejemplos adicionales).

Dudo que tengas muchos ejemplos familiares de tales topologías si no te han introducido a topologías más "patológicas" que les gusta ser contraejemplos de cada afirmación que desees. Debe tenerse en cuenta que la condición de que los singletons son cerrados es (equivalente a) un axioma de separación que hace que un espacio sea un espacio $T_1$, que es un axioma de separación bastante débil.