Probando que las declaraciones de su contrapositivo

Question

Demostrar la siguiente declaración para demostrar su contrapositivo:

"Si $n^3 + 2n + 1$ es impar, entonces n es aún"

Por lo tanto: $\lnot q \rightarrow \lnot p =$ "si $n^3 + 2n + 1$ es incluso, a continuación, $n$ es impar.

Así que por esto empecé suponiendo que: $n=2k+1$

$(2k+1)^3 +2(2k+1)+1 = 8k^3+12k^2 +10k+4 = 2k(4k^2 +6k+5)+4$

La última instrucción: $2k$ es aún, por lo tanto, $2k(4k^2 -6k+5)$ es también y 4 $2\cdot 2$ que es también incluso.

Ahora, mi pregunta es, cuando se acredite el contrapositivo, ¿cuál es tu conclusión final? Si funciona para el contrapositivo, entonces su teorema se mantiene? O hay algo más?

Answer 1

Sea p el valor booleano de la instrucción "$n^3+2^n+1$ es impar", q ser el valor booleano "n es impar". $$p \rightarrow q$$ $$1 \rightarrow 1$$ $$0 \rightarrow 1$$ $$0 \rightarrow 0$$ (como se puede ver, sólo $1 \rightarrow 0$ le indique el $p \rightarrow q$ es falso)

El contrapositivo de $p \rightarrow q$$\lnot q \rightarrow \lnot p$, que es "si n no es aún, $n^3+2^n+1$ no es impar".

La declaración de la "si $n^3+2n+1$ es incluso entonces n es impar" implica la existencia de $\lnot p \rightarrow \lnot q$ y no es equivalente a $p → q$. $$¬p → ¬q$$ $$¬0 → ¬0$$ $$¬1 → ¬0$$ $$¬1 → ¬1$$

($\lnot p \rightarrow \lnot q$ seguirá siendo válida al$p=1$$q=0$, que no es el caso en $p \rightarrow q$)

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Si funciona para el contrapositivo, su declaración de que sin duda tiene.

Las declaraciones $p \rightarrow q$ $\lnot q \rightarrow \lnot p$ son lógicamente equivalentes.

Answer 2

$\displaystyle n^3+2n+1=n^3-n^2+n^2+n+n+1$

$=n^2(n-1)+n(n+1)+n+1\equiv n+1\pmod2$ como el producto de dos enteros consecutivos es divisible por $2$

$\implies n^3+2n+1$ $n$ ha opuesto a la paridad