El producto de las pendientes es -1 si es perpendicular Prueba de los primeros principios

Question

Una vez más estoy trabajando a través de Stillwell's Los cuatro pilares de la geometría . Estoy en el capítulo 3 donde introduce por primera vez las coordenadas. La pregunta dice,

3.5.1 Demuestre que las líneas de pendiente $t_1$ y $t_2$ son perpendiculares por si acaso $t_1t_2=-1$ .

Lo leí como: "Línea 1 y Línea 2 Perpendicular $\Leftrightarrow$ $t_1t_2=-1$ ". Por lo que he probado puedo decir que el uso de contrapositivas no es muy útil ya que en álgebra que algo no sea igual a otra cosa no te dice mucho.

También intenté suponer que se podía salir de la intersección en 1 en ambas líneas. Entonces dibuje dos triángulos rectos y parta de ahí. (Entonces, ambas hipotenusas siendo 1 y los lados $a$ y $b$ .) No pude terminar esta idea - hay un par de casos, e implica "mover" la intersección al origen que, aunque permitido, no está del todo permitido todavía en Cuatro pilares

¿Existe una forma elegante de mostrar 3.5.1 ?

Las preguntas sobre la cuestión se responderán rápidamente en los comentarios.

Answer 1

Aquí hay una prueba elemental, sin trigonometría.

Supongamos que las pendientes $t_1,t_2$ de las líneas $L_1,L_2$ respectivamente, son ambos definidos (números reales) y las líneas se cruzan.

Dejemos que $p$ sea su intersección. Entonces $q=p+(1,t_1)\in L_1$ y $r=p+(1,t_2)\in L_2$ .

Ahora $L_1$ es perpendicular a $L_2$ si y sólo si el triángulo $pqr$ tiene un ángulo recto en $p$ . Por el teorema de Pitágoras, esto es equivalente a $\|p-q\|^2+\|p-r\|^2=\|q-r\|^2\iff 1+t_1^2+1+t_2^2=(t_1-t_2)^2\iff t_1t_2=-1$ .

Answer 2

No estoy seguro de qué propiedades geométricas se pueden utilizar todavía, pero aquí hay un intento de prueba puramente geométrica (sin trigonometría).

Supongamos, por comodidad, que el punto de intersección de las dos líneas no está en el $x$ -y que ninguna de las dos líneas es horizontal o vertical. Llama al punto de intersección de cada línea con el $x$ -eje $A$ y $B$ y el punto de intersección de las dos líneas $C$ . Llama a la intersección de la línea vertical que pasa por $C$ con el $x$ -eje $D$ . Mirando $\triangle ADC$ , $\frac{DC}{AD}$ es el valor absoluto de la pendiente de la línea que contiene $A$ y $C$ ; de manera similar, $\frac{DC}{BD}$ es el valor absoluto de la pendiente de la línea que contiene $B$ y $C$ .

Si las líneas son perpendiculares, entonces $\angle ACB$ es un ángulo recto, por lo que $\triangle ABC$ es un triángulo rectángulo, y $CD$ es la media geométrica de $AD$ y $BD$ Así que $AD\cdot BD=CD^2$ de la cual $\frac{DC}{AD}\cdot\frac{DC}{BD}=1$ por lo que el producto de los valores absolutos de las pendientes es  $1$ . Como las pendientes tienen claramente signos opuestos, su producto es  $-1$ .

Si el producto de las pendientes es  $-1$ entonces $\frac{DC}{AD}\cdot\frac{DC}{BD}=1$ o $AD\cdot BD=CD^2$ . Si se refleja el punto $C$ sobre el $x$ -eje a $C'$ , $CD=C'D$ y $AD\cdot BD=CD\cdot C'D$ Así que por el teorema de la potencia de un punto , $A$ , $B$ , $C$ y $C'$ se encuentran en un círculo y como $AB$ es la bisectriz perpendicular de $CC'$ , $AB$ es el diámetro del círculo, por lo que $\angle ACB$ es un ángulo recto. Por lo tanto, las líneas son perpendiculares.

Alternativamente, si el producto de las pendientes es  $-1$ entonces $\frac{DC}{AD}\cdot\frac{DC}{BD}=1$ o $\frac{DC}{AD}=\frac{BD}{DC}$ y como $\angle ADC$ y $\angle BDC$ son ambos ángulos rectos, $\triangle ADC\sim\triangle CDB$ Así que $\angle DAC\cong\angle DCB$ y $\angle DCA\cong\angle DBC$ . Ahora, mirando las medidas de los ángulos interiores de $\triangle ABC$ su suma debe ser $180°$ pero $\angle ACB$ es la suma de dos ángulos que son congruentes con $\angle ABC$ y $\angle BAC$ por lo que la medida de $\angle ACB$ debe ser la mitad de $180°$ que es $90°$ Así que $\angle ACB$ es un ángulo recto. Por lo tanto, las líneas son perpendiculares.

Answer 3

Las pendientes $t_1$ y $t_2$ son las tangentes de los ángulos $\alpha_1$ y $\alpha_2$ las dos líneas hacen con el $x$ -eje.

Tenemos $\alpha_1 - \alpha_2 = \pi/2$

Por lo tanto, sin duda $\tan{(\alpha_1 - \alpha_2)} = \tan{(\pi/2)} = \infty$

Y $\displaystyle\tan{(\alpha_1 - \alpha_2)} = \frac{t_1-t_2}{1+t_1t_2}$ por la fórmula de la suma/diferencia de tangentes.

Así que vemos que $t_1t_2 = -1$

Answer 4

Una forma rápida de ver esto es la siguiente. Un lector con mentalidad teórica se dará cuenta de que obtengo una rotación de 90 grados como una composición de dos reflexiones, con respecto a dos líneas con un ángulo de 45 grados entre ellas.

Supongamos que una de las líneas está `apuntando en la dirección' $\alpha$ (= el ángulo entre la línea y el $x$ -eje). Si reflejamos esta línea con respecto a la línea $y=x$ entonces la nueva línea apunta en la dirección $\beta=\pi/2-\alpha$ porque la línea original y la nueva línea forman un ángulo $\pi/4-\alpha$ con la línea $y=x$ pero están en los lados opuestos. Si la pendiente de la línea original era $k$ entonces la pendiente de la línea reflejada es $k_2=1/k$ porque esta reflexión simplemente intercambia los papeles de las coordenadas $x$ y $y$ y $y=kx+b \Leftrightarrow x=\frac1k (y-b)$ .

En el segundo paso reflejamos la nueva línea con respecto al $x$ -ejes. La línea reflejada dos veces apunta en la dirección $-\beta=\alpha-\pi/2$ por lo que es perpendicular a la línea original. En esta reflexión se cambia el signo de la pendiente, por lo que la pendiente de esta recta perpendicular es $k_3=-k_2=-1/k$ .

Hay algunos casos especiales ( $\alpha=0, \alpha=\pi/2$ ) no está cubierta por este argumento, pero en ese caso una línea es horizontal y la otra vertical, y sus respectivas pendientes son $0$ y $\infty$ Así que su producto no tiene mucho sentido.

Answer 5

Supongamos que ninguna de las pendientes es $\infty$ . Para cada línea existe una dirección vectorial unitaria $v(a,b)$ . La pendiente de la línea es la tangente del ángulo formado por $v$ a la $Ox$ eje. La pendiente de la línea es $\frac{b}{a}$ .

Ahora, dos líneas con pendientes $t_1,t_2$ son perpendiculares si y sólo si sus vectores de dirección $v(a,b),w(c,d)$ son ortogonales, es decir $\langle v,w\rangle=ac+bd=0$ ( $\langle \cdot,\cdot \rangle$ es el producto punto habitual). Esto significa que $\frac{a}{b}=-\frac{d}{c}$ lo que significa que $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=-1$ y esto es exactamente $t_1t_2=-1$ .

Si una de las pendientes es $\infty$ entonces esa línea es vertical, y la línea ortogonal a ella tiene pendiente $0$ . Si la relación se mantuviera siempre, entonces tendríamos $0 \cdot \infty=-1$ Lo cual no es cierto. La relación entre las pendientes de las rectas perpendiculares de la forma $t_1t_2=-1$ se utiliza cuando no hay línea vertical u horizontal.