Calcular $\lim_{n\to\infty} nx_n$

Question

Vamos $(x_n)_{n\ge2}$, $x_2>0$, que satisface la recurrencia $x_{n+1}=\sqrt[n]{1+n x_n}-1, n\ge 2$. Calcular $\lim_{n\to\infty} nx_n$.
Es claro que $x_n\to 0$, y probablemente Stolz teorema sería de gran ayuda. Es realmente necesario el uso de este teorema?

Answer 1

Desde $(1+x)^n\geqslant nx+1$ obtenemos que $x_n\geqslant x_{n+1}$. Como la secuencia es positiva y decreciente, se deben converger. Llamar a este límite de $\ell$. Considere la posibilidad de la no-negativo funciones de $$f_n(x)=\frac{\log(1+nx)}n$$

Tienen la propiedad de que $$\log(1+x_{n+1})=f_n(x_n)$$

Desde $x_n$ está disminuyendo, y puesto que el $f_n$ están disminuyendo, lo que significa que $f_{n+1}\leq f_n$, sin embargo, cada uno de ellos está aumentando, lo que significa $f_n(x)\leq f_n(y)$ si $x\leq y$, $$f_{n+1}(x_{n+1})\leq f_n(x_{n+1})\leq f_n(x_n) $$

El límite de lo que existe. Nos gustaría argumentar que $f_n(x_n)\to 0$. Desde $x_n$ disminuye y es no negativo, podemos trabajar dentro de un intervalo compacto $[0,M]$. En este intervalo, la continua $f_n$ convergen monótonamente a $0$, con lo que por Dini del teorema, que convergen uniformemente. Por lo tanto, $\{f_n\}_{n\geqslant 1}$ es un equicontinuous de la familia, de donde $$\lim_{n\to\infty}f_n(x_n)=\lim_{n\to\infty}f_n(\ell)=0$$

Pero, a continuación,$\log(1+\ell)=0\implies \ell =0$.

Sugerencia Deje ${\left( {1 + {x_{n + 1}}} \right)^n} = 1 + n{x_n} = {y_n}$. Desde $x_n\to 0$ podemos ampliar $$\log \left( {1 + {x_{n + 1}}} \right) = {x_{n + 1}} + {x_{n + 1}}O\left( {{x_{n + 1}}} \right)$$ for sufficiently large $n$, so if we let $y_n-1=\omega_n$; $$\log \left( 1+\omega_n \right) = \frac{n}{{n + 1}} \omega_{n+1} + n{x_{n + 1}}O\left( {{x_{n + 1}}} \right)$$

Por lo tanto, si el límite existe, debe ser de $0$.

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Deje $\mathscr F=\{f_i\}_{i\in I}$ ser una familia de funciones de $f_i:A\to\Bbb R$. Podemos decir $\mathscr F$ es equicontinuous en $A$ si para cada una de las $\epsilon>0$ existe $\delta >0$ tal que para cada una de las $x,y\in A$ y $f_i\in\mathscr F$ $$|x-y|<\delta\implies |f_i(x)-f_i(y)|<\epsilon$$

Nota cada función en un equicontinuous familia de funciones automáticamente es uniformemente continua, por ejemplo.

Answer 2

Considere la función $$f_n(t)=\Bigl(1+\frac{t}{n+1}\Bigr)^n,\qquad t\ge0, \quad n=2,3,\ldots$$ Claramente (convexidad, el valor y la derivada en $t=0$, crecimiento), hay un $t_n>0$, de modo que $f_n(t)<1+t$ al $0<t<t_n$, e $f_n(t)>1+t$ al $t>t_n$. Ahora $$f_n(t)\ge 1+\frac{n}{n+1}t+\frac{n(n-1)}{2(n+1)^2}t^2=1+\frac{nt}{n+1}\Bigl(1+\frac{n-1}{2(n+1)}t\Bigr)>1+t$$ siempre $$\frac{n-1}{2(n+1)}t>\frac1n,$$ y de ello se sigue que $$\limsup_{n\to\infty}nt_n\le2.$$

Siempre que $nx_n>t_n$ tenemos $f_n(nx_n)>1+nx_n$, que es $$1+\frac{nx_n}{n+1}>\sqrt[n]{1+nx_n}=1+x_{n+1}$$ y por lo $(n+1)x_{n+1}<nx_n$.

Incluso cuando este no es el caso, $x_{n+1}<x_n$, por lo que el $(n+1)x_{n+1}<nx_n+x_n$.

Es posible que $nx_n>t_n$ para todos los gran $n$. Si es así, la secuencia de $(nx_n)$ está disminuyendo, por lo que tiene un límite, que debe ser cero (véase la respuesta de Peter Tamaroff).

Si $nx_n\le t_n$ arbitrariamente grande,$n$, entonces para tales $n$, $(n+1)x_{n+1}<t_n+x_n$, que va a cero, como se $n\to\infty$ (ver los comentarios de un argumento que $x_n\to0$). Así que en cualquier caso, $nx_n\to0$$n\to\infty$.

Answer 3

Con $y_n=nx-n$, la recurrencia $$ y_{n+1} = n(\sqrt[n]{1+y_n}-1)$$ Tenga en cuenta que para $h>0$,$(1+h)^n>1+nh$, por lo tanto $\sqrt[n]{1+h}<1+\frac hn$, lo que hace que $\{y_n\}$ una disminución de la secuencia, delimitado, desde abajo, por $0$, por lo tanto convergente. Deje $L$ ser el límite.

Con $f_n(t):=\exp(t\ln(1+y_n))$ nota de que $$ y_{n+1}=\frac{f_n(1/n)-f_n(0)}{1/n}=f_n'(\tau_n)$$ con $0<\tau_n<\frac1n$. Desde $f_n'(t)=\ln(1+y_n)f_n(t)$, esto nos da $$ y_{n+1}=\ln(1+y_n)\exp(\tau_n\ln(1+ y_n)).$$ El lado derecho es continuo, como una función en $\tau$$y$, por lo tanto, en el límite, cuando $\tau_n\to 0$$y_n\to L$, nos encontramos con $$ L=\ln(1+L)\cdot 1$$ el que tiene la única solución de $$L=0.$$