Valores propios de las sumas de las matrices

Question

¿Hay una relación entre los valores propios de las matrices individuales y los valores propios de su suma?

¿Qué hay del caso especial cuando son hermitianos y de definición positiva?

Estoy investigando esto con respecto a la búsqueda del corte del gráfico normalizado bajo restricciones convexas generales.

Cualquier consejo será de gran ayuda.

Gracias. B.

Answer 1

El problema de describir los posibles valores propios de la suma de dos matrices hermitianas en términos de los espectros de los sumandos conduce a aguas profundas. La descripción más completa fue conjeturada por Horn, y ahora ha sido demostrada por el trabajo de Knutson y Tao (¿y otros?) - para una buena discusión, véase el Avisos Artículo de la AMS por esos dos autores

Dependiendo de lo que quieras, debería haber resultados más sencillos que den estimaciones sobre los valores propios de la suma. Un libro como Matrix Analysis de Bhatia podría tener material útil.

Answer 2

Una estimación sencilla que suele ser útil es que, si $A$ y $B$ son matrices hermitianas con valores propios $a_1 > a_2 > \ldots > a_n$ y $b_1 > b_2 > \ldots > b_n$ y los valores propios de la suma son $c_1 > c_2 > \ldots > c_n$ entonces $$ c_{i+j-1} \le a_i + b_j \quad\text{and}\quad c_{n-i-j} \ge a_{n-i} + b_{n-j}. $$ Las condiciones anteriores son necesarias pero no suficientes para $A+B=C$ para tener una solución; ver el artículo de Knutson-Tao si quieres condiciones suficientes.

Si no se impone que $A$ y $B$ son herméticos entonces hay muy pocas restricciones además de que la traza sea igual. Más concretamente, el $3n$ -tuplas $(a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n, c_1, \ldots, c_n)$ que se presentan como valores propios de $(A,B,C)$ con $A+B=C$ son densos en el hiperplano $\sum a_i + \sum b_i = \sum c_i$ .

Answer 3

Si 2 matrices positivas conmutan, entonces cada valor propio de la suma es una suma de valores propios de los sumandos. Esto sería cierto de forma más general para matrices normales conmutadas. Para matrices positivas arbitrarias, el mayor valor propio de la suma será menor o igual que la suma de los mayores valores propios de los sumandos.

Answer 4

Si M es hermitiano, entonces H + aI es semidefinido positivo cuando a es suficientemente grande. Así que el caso Hermitiano + semidefinido positivo es esencialmente el mismo que el caso Hermitiano

Answer 5

He aquí un caso trivial con una solución sencilla. Aplicable en la Mecánica Cuántica, por ejemplo.

Dadas dos matrices de la forma $A \otimes Id$ , $Id \otimes B$ los valores propios de su suma son todas las combinaciones $a_i+b_j$ , donde $A\vec{a}_i=a_i\vec{a}_i$ y $B\vec{b}_i=b_i\vec{b}_i$ . Los vectores propios son todos productos tensoriales de los vectores propios individuales de $A$ y $B$ .

Esta es una línea para mostrar:

$$(A \otimes Id + Id \otimes B) \,\vec{a}_i\otimes \vec{b}_j=(a_i+b_j)\,\vec{a}_i\otimes \vec{b}_j$$