Envoltura de las trayectorias de los proyectiles

Question

Para una velocidad de lanzamiento determinada $v$ y el ángulo de lanzamiento $\theta$ la trayectoria de un proyectil puede describirse mediante la fórmula estándar $$y=x\tan\theta-\frac {gx^2}{2v^2}\sec^2\theta$$

Para diferentes valores de $\theta$ ¿cuál es la envolvente de las diferentes trayectorias? ¿Es una parábola propiamente dicha?

La solución estándar a este problema de "envoltura de seguridad" es plantear la fórmula como una cuadrática en $\tan\theta$ y poner el discriminante a cero. La relación resultante entre $x,y$ es el sobre.

Esta pregunta se publica para ver si hay otros enfoques de la solución.

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Edición 1

Gracias por las buenas soluciones de Jack y Blue, recibidas hasta ahora. A partir de la solución de la envolvente se puede trabajar que la propia envolvente corresponde a la mitad derecha de la trayectoria de un proyectil lanzado a $(-\frac{v^2}{g^2},0)$ en un ángulo de lanzamiento $\alpha=\frac{\pi}4$ y una velocidad de lanzamiento $V=v\sqrt2$ . Esto significa que las componentes vertical y horizontal de la velocidad de lanzamiento son iguales a $v$ . Sería interesante ver si estas conclusiones pueden deducirse del propio problema por inspección y sin necesidad de resolverlo primero. Si es así, esto formaría otra solución.

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Vea también esto otra pregunta publicado posteriormente.

Answer 1

Sí, lo es. Para encontrar la envolvente, sólo tenemos que encontrar las intersecciones entre dos trayectorias asociadas a dos ángulos ligeramente diferentes. Si resolvemos $$ x\tan\theta -\frac{gx^2}{2v^2}\sec^2(\theta) = x\tan(\theta+\varepsilon) -\frac{gx^2}{2v^2}\sec^2(\theta+\varepsilon) $$ obtenemos $x=0$ o $$ x=\frac{2v^2}{g}\cdot\frac{\tan(\theta)-\tan(\theta+\varepsilon)}{\sec^2(\theta)-\sec^2(\theta+\varepsilon)}$$ y dejando que $\varepsilon\to 0$ obtenemos $x=\frac{v^2}{g}\cot(\theta)$ de la cual $y=\frac{v^2}{2g}\left(2-\frac{1}{\sin^2(\theta)}\right) $ .

Se deduce que la ecuación de la envolvente viene dada por: $$ y = \frac{v^2}{2g}\left(1-\left(\frac{gx}{v^2}\right)^2\right)=\frac{v^2}{2g}-\frac{g}{2 v^2}\,x^2$$ que claramente es una parábola con vértice en $\left(0,\frac{v^2}{2g}\right)$ a través de los puntos $\left(\pm\frac{v^2}{g} ,0\right)$ .

Podemos observar que la envolvente y la trayectoria con $\theta=\frac{\pi}{4}$ son homotéticos, y la relación de dilatación es sólo $2$ . Los vértices de las trayectorias se encuentran en una elipse tangente a la parábola envolvente, con centro en $\left(0,\frac{v^2}{4g}\right)$ un vértice en el origen y un vértice en $\left(\frac{v^2}{2g},\frac{v^2}{4g}\right)$ .

Answer 2

@Jack proporciona una derivación muy bonita e intuitiva de la envolvente como los puntos de intersección de miembros infinitamente cercanos de la familia de curvas. La entrada "Envelope" de Wikipedia proporciona esta abstracción menos luminosa:

La envolvente de la familia [de curvas parametrizadas por $t$ es] el conjunto de puntos para los que $$F(t, x, y) = \frac{\partial F}{\partial t}(t,x,y) = 0 \tag{$ \N - La estrella $}$$ para algún valor de $t$ [...].

En $(\star)$ , $F$ es la función que, cuando se establece igual a $0$ define cada curva de la familia. Para la cuestión que nos ocupa, tenemos (con el parámetro $\theta$ en lugar de $t$ ) $$F(\theta,x,y) = -y + x\tan\theta -\frac{g x^2}{2v^2}\sec^2\theta \tag{1}$$ Por lo tanto, diferenciando con respecto a $\theta$ da $$\frac{\partial F}{\partial \theta}(\theta,x,y) =x\sec^2\theta -\frac{g x^2}{2v^2}\cdot 2 \sec^2\theta\tan\theta = \frac{x\sec^2\theta}{v^2} ( v^2 - g x \tan\theta) \tag{2}$$ Resolver $\partial F/\partial \theta = 0$ para $\theta$ (señalando que $\sec\theta$ nunca desaparece) da $$\tan\theta = \frac{v^2}{g x} \qquad\text{so that}\qquad \sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta = \frac{g^2 x^2 + v^4}{g^2 x^2}$$

Sustituyendo en $(1)$ y el ajuste $F=0$ tenemos

$$y = x\;\frac{v^2}{gx} - \frac{g x^2}{2 v^2}\;\frac{g^2 x^2 + v^4}{g^2 x^2} = \frac{v^2}{2g} - \frac{g x^2}{2v^2} = \frac{v^4-g^2x^2}{2gv^2}$$

que coincide con la respuesta de Jack.

Answer 3

Otra forma de pensar en esto es la siguiente:

Supongamos un punto $(x,y)$ en el avión. Para una velocidad dada $v$ si obtenemos un valor real de $θ$ entonces el punto se encuentra dentro de la envolvente. En general, hay dos valores de $θ$ para un punto dado porque la ecuación de la trayectoria es una cuadrática en $\tan θ$ (se puede romper el $\sec^{2} θ$ como $1+ \tan^{2} θ$ ).

Si el discriminante $D$ de la cuadrática es mayor que cero, entonces el punto se encuentra dentro de la envolvente. Si es igual a cero, se encuentra en la envolvente. Si $D$ es menor que $0$ Entonces se encuentra fuera del sobre.

Así que, $D=0$ de la ecuación de la trayectoria nos da la ecuación de la envolvente

Espero que le guste esta analogía.

Answer 4

Este es otro enfoque. Aunque no es tan elegante como el de Jack. Tal vez similar a la de Blue. (Edición: Revisado ligeramente para utilizar la sustitución de $H=v^2/2g$ en lugar de $\lambda=g/v^2$ para una referencia más conveniente, según la solución de Narasimham)

Este enfoque maximiza el valor de $y$ para cualquier valor de $x$ .

Para un valor determinado de $x$ , digamos que $x=k$ , $$\begin{align} y&=kT-\frac {k^2}{4H}(1+T^2)\qquad\text{where $T=\tan\theta, H=\frac {v^2}{2g}$}\\ \frac{dy}{dT}&=k-\frac {k^2}{4H}\cdot 2T=0\qquad\text{when $T=\frac {2H}k$}\\ \text{At $T=\frac {2H}k$}:\qquad\qquad y&=k\cdot\frac{2H}k-\frac{k^2} {4H}\left(1+\frac {4H^2}{k^2}\right) \color{lightgrey}{=2H-\frac {k^2}{4H}-H}\\ &=H-\frac {k^2}{4H} \end{align}$$

Por tanto, la ecuación de la envolvente es $$y=\frac {v^2}{2g}-\frac {gx^2}{2v^2}\quad\blacksquare$$

Answer 5

Voy a esbozar el método para obtener la parábola. Notación habitual

$$ \ddot y = -g, \dot y = - g t + v \sin \theta , y =- g t^2/2 + v t \sin \theta\, +0 \tag {1} $$ $$\ddot x = 0, \dot x = v \cos \theta = const , x = v t \cos \theta +0 \tag{2}$$

Eliminar el tiempo $t$ entre (1),(2) ya tienes esta ecuación de parábola.

Dejemos que $\tan \alpha = T$ La ecuación de la parábola, en otras palabras

$$ y = x T - g/2 * ( x/ v \cos\theta)^2 = x T - ( g x^2/2 v^2) ( 1+T^2) \tag{3} $$

Diferenciar parcialmente con respecto a $T$ y simplificar, $ T = v^2 / gx \tag{4} $

Eliminar $T$ entre (3) y (4)

$$ y = v^2/2g - g x^2 /(2 v^2) = H - x^2/(4H) \tag{5}, $$

lo mismo que obtuvieron antes Jack y Blue.

Si se denota la altura alcanzada por el proyectil en el disparo vertical $ H = v^2/(2g) \tag{6} $ te darás cuenta de que la envoltura está perfilada exactamente como un espejo parabólico con foco en el punto de entrega del arma, la distancia focal es exactamente H. La fuerza vertical de la gravedad está actuando como la luz :).

El método del procedimiento anterior se indica con Blue en Wiki, se denomina método C-discriminante para obtener envolventes y soluciones singulares.

Como lo que dijiste en tu edición y yo sobre el espejo, son estratagemas para recordar curvas usando similitudes..

Para la imagen tomé valores de $ g=9.8 m/s^2 , v = 2 m/s $

El camino de la diferenciación parcial y la eliminación es la forma correcta de mirar, tal vez no como lo que usted dijo (solución estándar.. manera).

EDIT2:

La respuesta a tu segunda pregunta, es decir, determinar si va a ser una parábola envolvente sin pasar por todo el análisis... Sólo puedo responder con el discriminante C extendido, reforzando el mismo resultado por otro camino.

$p$ El método discriminante también es relevante, pero lo difiero, pero lo mejor es remitirse a los libros de cálculo diferencial de autores como A.R. Forsythe.

Me extenderé en el discriminante C, en el que un sistema de ecuaciones de dos parámetros variación de cualquiera de los dos parámetros conduce a la mismo sobre de parábola. Esto es en respuesta a su pregunta , ¿Por qué se trazan también círculos concéntricos parciales?

Bueno, son círculos bien, pero no círculos concéntricos. Se expanden y descienden lentamente con el tiempo. Lo que se puede ver como trazado son las periferias trazadas descendiendo con el tiempo .

Pero primero, mira rápidamente algunos fuegos artificiales para ver de qué estoy hablando:

Círculo de fuegos artificiales expansivo y descendente Periferia

Es una experiencia común ver cómo las astillas brillantes de la bola de fuego se expanden hasta convertirse en círculos más grandes a medida que todo el cúmulo desciende lentamente con el tiempo. La periferia es una porción de un círculo cuyo radio aumenta. El centro del círculo siempre desciende por gravedad.

Los dos parámetros son $ \theta, t $ ángulo de elevación en la primera ráfaga o disparo, y tiempo $t$ .

Por el método del discriminante C la envolvente de la parábola es el eliminante de o bien $\theta$ variable o

$$ F(x,y,\theta) =0 ,\, F_{\theta } (x,y,\theta) =0 \tag{6} $$

o $t$ variable de tiempo.

$$ F(x,y, t) =0 ,\, F_{t } (x,y, t) =0 \tag{7} $$

El primero ya se ha discutido, el segundo es la expansión/descenso de los círculos de fuegos artificiales como ya se ha dicho.

En este último caso se trabaja:

$$ x = v t \cos \theta , y = v t \sin \theta - g t^2/2 \tag{8}$$

$$ (\frac{x}{vt})^2 + (\frac{y+ gt^2/2}{vt}) ^2 = 1 \tag{9}$$

$$ x^2 + ( y + g t^2/2)^2 = v^2t^2 \tag{10} $$

que es un Círculo.

Para encontrar su envolvente, como antes diferenciar parcialmente con respecto al tiempo $t$ y cancelar $ 2t$ a cada lado de la ecuación , traen $ v^2/g$ a la derecha :

$$ y + gt^2/2 = v^2/g \tag {11} $$

$$ x^2 + (v^2/g)^2 = 2 v^2/g * ( v^2/g-y) \tag {12} $$

$$ x^2 + ( 2 H)^2 += 4 H ( v^2/g -y )\tag{13} $$

$$ x^2 = 4 H ( H-y) \tag{14} $$

que es la misma envolvente de la parábola obtenida anteriormente con $\theta $ como parámetro. Puntos finales $ ( x=0, y=H ; x= 2 H, y= 0 ) $

Aunque las trazas de los extremos de los círculos son visibles en un espectáculo de fuegos artificiales se necesita imaginación como antes con el ángulo variable del cañón del arma para ver que cada círculo es tangente a una envolvente fija. Espero que lo hayan disfrutado.