Contraejemplo de Banach álgebra

Question

¿Alguien me no puede dar que un ejemplo de un Banach álgebra $\mathbb{A}$, que es ninguna representación isométrica en un espacio de Hilbert? (con pruebas o referencias a prueba)

Gracias mucho :)

Answer 1

Para mí, el ejemplo más sencillo sería $A=M_2(\mathbb{C})$ equipada con el operador de la norma inducida por cualquier $\ell^p$ norma ($1\leq p\leq +\infty$, $p\neq 2$) en $\mathbb{C}^2$.

En resumen: $A$ es, naturalmente, un $*$-álgebra y un isométrico de la incrustación en $B(H)$ para la segunda de las normas es necesariamente un $*$-homomorphism, convirtiendo $A$ a una $C^*$-álgebra. Y un $C^*$-norma es único en un determinado $C^*$-álgebra, como se desprende de la caracterización algebraica de una $C^*$norma: $\|x\|^2=\|x^*x\|=\rho(x^*x)$.

Aquí es un detalle elemental prueba de que $A$ no puede ser isométricamente incrustado en alguna $B(H)$. Más precisamente, vamos a ver que si el isométrico de la incrustación existe, la norma debe ser la inducida por la $\ell^2$ norma. Tenga en cuenta que este argumento puede ser fácilmente generalizado a $M_n(\mathbb{C})$. Si usted está familiarizado con la matriz de unidades y descomposición de Peirce, la idea es simple: si un álgebra de Banach norma en $M_n(\mathbb{C})$ $\|e_{jj}\|=1$ por cada $j$ e si $\pi:M_n(\mathbb{C})\longrightarrow B(H)$ es un isométrico de la incrustación, a continuación, $\pi$ es unitarily equivalente a $x\longmapsto x\otimes 1_K$ a $M_n(\mathbb{C})\otimes B(K)$ para algunos subespacio $K$$H$. De dónde $\|x\|$ debe ser el único $C^*$-norma de $M_n(\mathbb{C})$, es decir,$\|x\|=\sqrt{\rho(x^*x)}$.

Nota: con el mismo argumento, se puede demostrar que si $\pi:M_n(\mathbb{C})\longmapsto B(H)$ es un valor distinto de cero contractiva ($\|\pi(x)\|\leq \|x\|$) álgebra homomorphism y si la matriz de unidades (base canónica de $M_n(\mathbb{C})$) y la identidad, todos tienen la norma de no más de $1$ (donde igual a $1$) como es el caso para cualquier inducida por la norma por $\ell^p$, $\pi$ es en realidad un $*$-homomorphism (unitarily equivalente a una diagonal de incrustación) y $\|\pi(x)\|=\sqrt{\rho(x^*x)}$ es la norma espectral de $x$. Así que la inicial de la norma en $M_n(\mathbb{C})$ no puede ser inducida por una $\ell^p$ norma $(1\leq p\leq \infty)$ otros de $p=2$ en este caso. Pero tenga en cuenta que cualquier Schatten norma, en particular la de Hilbert-Schmidt, es dominado por el espectro de la norma, dando una contractura no isométrica ($n\geq 2$) $*$-representación en $B(H)$.

Voy a utilizar las siguientes propiedades de la clave de idempotents en $B(H)$.

Hechos: si $p$ es un idempotente ( $p^2=p$ )$B(H)$, $p$ es uno mismo-adjoint ($p^*=p$) si y sólo si $\|p\|\leq 1$. Si $1=p_1+p_2$ donde $p_1,p_2$ son dos proyecciones (=auto-adjunto idempotents) tal que $p_1p_2=0$, $K=\mbox{im} p_1=\ker p_2$ $L=\mbox{im} p_2=\ker p_1$ son ortogonales y $H=K\oplus L$. Finalmente, $p_1$ $p_2$ Murray-von Neumann equivalente (es decir, no existe $u,v\in B(H)$ tal que $p_1=uv$$p_2=vu$) si y sólo si sus rangos son isométricos.

Denotar $1=I_2$ la unidad e $e_j$ la matriz idempotente de $A$ cuyas $(j,j)$ coeficiente de es $1$ y otros coeficientes se $0$. Así que tenemos lo que se llama una descomposición ortogonal $1=e_1\oplus e_2$ de la unidad. Tenga en cuenta que con la norma de $A$, $\|e_1\|=\|e_2\|=\|1\|=1$.

Supongamos ahora que existe un isométrico álgebra homomorphism $\pi:A\longrightarrow B(H)$ para un espacio de Hilbert $H$. Nota: $\pi$ es inyectiva y que $\pi(1), \pi(e_1),\pi(e_2)$ norma $1$ idempotents de $B(H)$ norma $1$, donde las proyecciones. Desde $e_1e_2=0$,$\pi(e_1)\pi(e_2)=0$. Desde $\pi(1)$ viajes con $\pi(x)$ por cada $x\in A$, $\pi(A)$ deja la imagen de $\pi(1)$ invariante y es nulo en su nullspace. Así que sin pérdida de generalidad, podemos suponer que las $\pi(1)=1$$1=\pi(e_1)+\pi(e_2)$. Debido a que existen $u_1,u_2\in A$ tal que $e_1=u_1u_2$ $e_2=u_2u_1$ (tome $u_1=e_{12}$ $u_2=e_{21}$ de la base canónica), podemos ver que $\pi(e_1)$ $\pi(e_2)$ Murray-von Neumann equivalente. Por lo que sus rangos de $K$ $L$ dar $H=K\oplus L$ ortogonal descomposicion de la $H$ $K$ $L$ isométrica. Gracias a esta descomposición, $B(H)$ $*$- isomorfo a $M_2(B(K))=M_2(\mathbb{C})\otimes B(K)$. Con respecto a esto $2\times 2$ descomposición de $B(H)$, la incrustación $\pi$ es simplemente la extensión natural de la escalares incrustación $\mathbb{C}\longmapsto B(K)$. De hecho, todos los $x\in A=M_2(\mathbb{C})$ puede ser el único escrito $x=e_1xe_1+e_1xe_2+e_2xe_1+e_2xe_2$ (la descomposición de Peirce, que es sólo de descomposición con respecto a la base canónica de $M_2(\mathbb{C})$. La aplicación de $\pi$ los rendimientos de los correspondientes $2\times 2 $ descomposición en $B(H)\simeq M_2(B(K))$. Así que bajo esta identificación, $\pi$ es simplemente $$ \pi:x=\pmatrix{a&b\\c&d}\longmapsto \pmatrix{un 1_K&b1_K\\c1_K&d1_K}=x\otimes 1_K. $$ Por lo tanto $$ \|x\|_A=\|\pi(x)\|=\|x\otimes 1_K\|=\|x:(\mathbb{C}^2,\|\cdot\|_2)\longmapsto (\mathbb{C}^2,\|\cdot\|_2)\|=\sqrt{\rho(x^*x)} $$ Es decir, la norma en $A$ debe ser la norma inducida por el $\ell^2$ norma $\mathbb{C}^2$. Y obviamente, esto no es equivalente a ninguna norma inducida por un $\ell^p$ norma para $p\neq 2$.

Precisión: dado $p_j=\pi(e_j)$$v_j=\pi(u_j)$, la identificación entre el $B(H)=B(K\oplus L)$ $M_2(B(K))$ está dado por $$ y=\pmatrix{a&b\\ c&d}\longmapsto\pmatrix{1_K&0\\0&v_1}\pmatrix{a&b\\ c&d}\pmatrix{1_K&0\\0&v_2}=V_1yV_2 $$ con $V_1:K\oplus L\longmapsto K\oplus K$ $V_2:K\oplus K\longmapsto K\oplus L$ son tales que $V_1V_2=1$$V_2V_1=1$. Ahora con los supuestos, $\|V_j\|\leq 1$. Por lo tanto ambos son invertible contracciones, con contractura inversa. Esto implica que el $V_j$ son surjective isometrías de dónde unitaries, y $V_2=V_1^*$. Por lo que la identificación es un unitario de equivalencia, en particular, de una $*$-isomorfismo.

Answer 2

¿Podría contestar de esta manera? (medio inspirado por respuesta obtuve de MathOverflow)

Sabemos que un C $^\star$-álgebra Arens Regular. Sabemos que para un localmente compacto $\textit{infinite}$grupo $G$ $L^{1}(G)$ no es Arens Regular. Por lo tanto, si hay una representación de $L^{1}(G)$ en un $H$, tendríamos una contradicción, puesto que un bajoálgebra cerrado de una álgebra Arens Regular (tales como $B(H)$, ya que es un álgebra de #% C $^{\star}$) es todavía Arens Regular (pero no $L^{1}(G)$).

Answer 3

Debo compartir un ejemplo fácil de un álgebra de Banach que un estudiante de nivel de entrada puede verificar fácilmente. En $\mathbb{C}^2$, con sabio lineal las operaciones, definen la multiplicación $$(x_1,x_2)(y_1,y_2) = (x_1y_1,0).$$ One verifies that with sup norm this makes $\mathbb{C}^2$ un álgebra de Banach. Naturalmente la norma sup no satisface la ley del paralelogramo. Por lo tanto esto no puede ser isométrica isomorfo a cualquier espacio de Hilbert o es subespacio.