Evaluar

Question

¿Cómo puede uno evaluar la integral $$\int\frac{\sqrt{x^2-1}}x\mathrm dx$ $?

Intenté sustituir $x = \cosh t$ pero se atascó en $$\int\frac{\sinh^2t}{\cosh t}\mathrm dt$ $

¿Cualquier sugerencias?

Answer 1

Que $ x = \sec u $. Entonces, $ \mathrm{d}x = \sec u \tan u \, \mathrm{d}u $. Entonces, la integral se convierte en $$ \int \tan^2 u \, \mathrm{d}u = \int \left( \sec^2 u - 1 \right) \, \mathrm{d}u = \tan u - u + \mathcal{C}. $ $ entonces, puede sustituir hacia atrás y terminar.

Answer 2

Poner $X^2=x^2-1$ y $x^2=X^2+1$.

$2x\mathrm dx=2X\mathrm dX$.

$$\int\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\mathrm dx=\int\frac{X^2}{x^2}\mathrm dX=\int\frac{X^2}{X^2+1}\mathrm dX$$

Answer 3

Usaré la sustitución hiperbólica que hiciste. (¿Por qué no?) De importancia es el hiperbólico dual de la identidad Pythagorean, $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$. Entonces, uno puede ver que: $$\frac{\sinh^2 t}{\cosh t} = \frac{\cosh^2 t - 1}{\cosh t} $ $

Esto hace que su integral: $$\int \cosh t - \operatorname{sech} t\,dt$ $

Si sabes sus integrales trigonométricas hiperbólicas como mayoría de la gente sabe sus integrales trigonométricas "normales", eres libre de casa.

Indirecta: $$\int\operatorname{sech} t\,dt = 2\arctan\left(\tanh\left(\frac{t}{2}\right)\right) + C$ $ (según Wolfram).