Demostrar que $\textbf{$\gamma$}$ se encuentra en una esfera de radio $r$

Question

Deje $\textbf{$\gamma$ }(t)$ ser una unidad de velocidad de la curva de con $\kappa (t) > 0$ $\tau (t) \neq 0$ todos los $t$. Muestran que, si $\textbf{$\gamma$}$ es esférica, es decir, si se encuentra en la superficie de una esfera, a continuación, $$\frac{\tau }{\kappa }=\frac{d}{ds}\left (\frac{\dot \kappa}{\tau \kappa^2}\right ) \tag 1$ $

Por el contrario, muestran que si Eq. $(1)$ sostiene, a continuación, $$\rho^2+(\dot \rho \sigma )^2=r^2$ $ para algunos (positivo) constante $r$ donde$\rho = \frac{1}{\kappa}$$\sigma = \frac{1}{\tau}$, y deducir que $\textbf{$\gamma$}$ se encuentra en una esfera de radio $r$. Compruebe que la Ecualización. $(1)$ mantiene para Viviani la curva.

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En la segunda parte, me estoy enfrentando algunas dificultades a demostrar que $\textbf{$\gamma$}$ se encuentra en una esfera de radio $r$.

Me podrían dar algunos consejos sobre cómo mostrar?

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EDITAR:

Yo he hecho de todo, además de la verificación de que los Eq. $(1)$ mantiene para Viviani la curva.

He hecho lo siguiente:

El Viviani la curva es $$\gamma (t)=\left (\cos^2 t -\frac{1}{2}, \sin t\cos t , \sin t\right )$$

La curvatura está dado por la fórmula $$\kappa =\frac{ \| \gamma '' \times \gamma '\|}{\|\gamma '\|^3}$$

Me di cuenta que es igual a $$\kappa =\frac{\sqrt{5+3\cos^2 t}}{(1+\cos^2 t)^{\frac{3}{2}}}$$

Su derivada es $$\kappa '=\frac{6 \cos \sin t (\cos^2 t+2)}{\sqrt{5+3\cos^2 t}(1+\cos^2 t)^{\frac{5}{2}}}$$

La torsión es dado por la fórmula $$\tau =\frac{(\gamma ' \times \gamma '' ) \cdot }{\|\gamma ' \times \gamma '' \|^2}$$

Me di cuenta que es igual a $$\tau =\frac{6 \cos t}{5+3 \cos^2 t}$$

A continuación, $$\frac{\kappa '}{\tau \kappa^2}=\frac{\sin t(\cos^2 t+2)(1+\cos^2 t)^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{5+3 \cos^2 t}}$ $

He calculado $$\left ( \frac{\kappa '}{\tau \kappa^2} \right ) '$$ at Wolfram but this is not equal to $$\frac{\tau }{\kappa}$$ ¿Qué he hecho mal?

Answer 1

Creo que esto es mucho más fácil de lo que crees: Tomar (1) anterior: $$\frac{\tau }{\kappa }=\frac{d}{ds}\left (\frac{\dot \kappa}{\tau \kappa^2}\right ) \tag 1$$

Reescribir en términos de $\sigma$ $\rho$ $$\frac{\rho}{\sigma }=\frac{d}{ds}\left (\sigma (-\dot \rho)\right ) = -\frac{d}{ds}\left (\dot{\rho} \sigma \right ) \tag 2$$

Ahora que está casi hecho.

Tomar la derivada de la LHS de su expresión:

$$\frac{d}{ds}\left(\rho^2 + (\dot{\rho} \sigma)^2 \right) = 2\rho \dot{\rho} + 2(\dot{\rho} \sigma)\frac{d}{ds}(\dot{\rho} \sigma)$$ Pero sólo hemos averiguado lo que en último término es en términos de $\rho$ sustituto: $$\frac{d}{ds}\left(\rho^2 + (\dot{\rho} \sigma)^2 \right) = 2\rho \dot{\rho} + 2(\dot{\rho} \sigma)\left(\frac{-\rho}{\sigma}\right)$$ Ahora se puede ver que $$\frac{d}{ds}\left(\rho^2 + (\dot{\rho} \sigma)^2 \right) = 0$$

O en otras palabras $\rho^2 + (\dot{\rho} \sigma)^2$ es una constante (que debe ser positivo, ¿por qué?). Y si usted lo llama constante de $r^2$ está hecho.

Poner $a = \rho N + \sigma \dot{\rho} B$

Nos acaban de demostrar que este vector tiene una longitud constante de $r$. Usted puede utilizar las ecuaciones de Frenet para mostrar que $\dot{a} = -T = -\dot{\gamma}$

Entonces es claro que $\gamma + a$ es un vector constante (el centro del círculo) y el camino de $\gamma$ está a una distancia constante de $r$ a partir de ella.

Para Viviani la curva de poner $$ \gamma(t) = \left(\frac{r}{2}(1 + \cos t), \frac{r}{2} \sin(t), r \sin(t/2)\right)$$ Que se puede obtener de la Wikipedia o Mathworld (recuerde que tenemos una constante $r$ para nuestro radio). entonces $$ \gamma'(t) = \frac{r}{2}\left(-\sin (t), \cos(t), \cos(t/2)\right)$$ $$ \gamma''(t) = -\frac{r}{2}\left(\cos (t), \sin(t), \sin(t/2)/2\right)$$ Esto es diferente de lo que tienen. Usted necesita para calcular esto fuera a terminar.

Por ejemplo llego $||\gamma'' \times \gamma'|| = \frac{r^2}{8\sqrt{2}}\sqrt{13 + \cos (t)}$

Se puede tomar desde allí?