En primer lugar, me disculpo por el vago título. Yo no podía pensar en un camino corto para representar el problema. También, soy consciente de que una pregunta similar existe, pero tengo un poco más de conocimiento.
El problema es:
Un hombre que se conoce a hablar con la verdad, tres de cada cuatro veces. Él lanza un morir y los informes que se trata de un seis. Encontrar la probabilidad de que se en realidad es una de las seis.
La respuesta en el libro es $ \frac{3}{8} $, lo que suena completamente a mí, dados los números, en el primer vistazo. Me decidí a probarlo por mi cuenta. Después de algunos contemplación, de hecho es cierto que $ \frac{3}{8} $ es correcta. Pero, la pregunta de la vaguedad que lo hace interesante. Es una especie de una ingenua respuesta!
En primer lugar, aquí está el libro de la solución:
Deje $ E $ ser el caso de que el hombre informes de los que seis se produce, $ S_1 $ ser el caso de que seis se produce y $ S_2 $ ser el caso de que seis no se produce.
$ P(S_1) $ = Probabilidad de que seis se produce = $ \frac{1}{6} $
$ P(S_2) $ = Probabilidad de que seis no producirse = $ \frac{5}{6} $
$ P(E~|S_1) $ = Probabilidad de que el hombre informes de que una niña de seis ocurrió cuando se haya producido (la verdad) = $ \frac{3}{4} $
$ P(E~|S_2) $ = Probabilidad de que el hombre informes de que una niña de seis ocurrió cuando que en realidad no ha ocurrido = $ \frac{1}{4} $
$ P(S_1|E) $ = Probabilidad de que una niña de seis ha hecho ocurrió cuando el hombre dice así =
$$ \frac{P(S_1)~P(E~|S1)}{P(S_1)~P(E~|S_1)+P(S_2)~P(E~|S_2)} = \frac{3}{8} $$
Enlace original: Página 25 de este (enlace actualizado 22/11/2015; tiende a romper a menudo).
Aquí está la primera de mis dos soluciones:
La pregunta es un poco vago y no nos dice lo que el hombre dice que cuando no se llega a un seis. Asumiendo que cada vez se encuentra él no tiene un período de seis (que no es exactamente lo que la pregunta dice), sacaba $ P(E~|S_2) $$ 1 $, que se dispara $ P(lie) $$ \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6}.\frac{1}{4} = \frac{7}{8} $.
También, $ P(E~|S_1) = \frac{3}{4} $$ P(E) = \frac{5}{6} + \frac{1}{6}.\frac{3}{4} = \frac{23}{24} $.
Esto nos lleva a, $$ P(S_1|E) = \frac{P(S_1)P(E~|S_1)}{P(E)} = \frac{3}{23} = 13.04\% $$
Por favor, tenga en cuenta que no me importa acerca de los seises rodó cuando miente acerca de ser un seis, debido a que la condición no es aplicable a la cuestión.
Soy muy escéptico acerca de mis cálculos! Me decidí a preparar un programa simple y ver cuál es la distribución de probabilidad es de $$ \frac{Number~of~sixes~rolled~while ~saying~it's~a~six}{Number~of~dice~rolls} $$
Aquí está el resultado:
Teniendo en cuenta que el libro dice $ P(E~|S_2) = \frac{1}{4} $, que es, en esencia, es contradictoria a la pregunta, consideremos también la otra posibilidad:
Es aún más vaga en este escenario! Si el hombre se encuentra después de cualquier rollo, hay un $ \frac{1}{5} $ de probabilidad de que se acostará sobre cualquier otro número. Esto crea una nueva rama en cada mentira, que se divide en cinco. En este caso,
$$ P(E) = \frac{1}{6}.\frac{1}{4}.\frac{1}{5}.\frac{5}{1}+\frac{1}{6}.\frac{3}{4} = \frac{1}{6} $$
$ P(E~|S_1) $ sigue siendo $ \frac{3}{4} $, pero $ P(E~|S_2) = \frac{1}{4}.\frac{1}{5} = \frac{1}{20} $.
$$ P(S_1|E) = \frac{P(S_1)P(E~|S_1)}{P(E)} = \frac{3}{4} = 75\% $$
Esto parece la más intuitiva respuesta, y es por eso que yo dudaba de que la respuesta original en el primer lugar. Dada una verdad probabilidad de $ \frac{3}{4} $, no había manera de que la probabilidad de que un seis se $ 37.5\% $!
La ambigüedad de la pregunta es ¿qué hace a $ \frac{3}{8} $ mal para mí. Completamente fuera de la curiosidad, la respuesta a la que encaja mejor con la pregunta, y estos cálculos correctos o mentira?
