Tengo una bastante específico de que se trate. Mi intuición me dice que la respuesta es "sí", pero no es natural que las generalizaciones en la que me saca todos los "física" y, a continuación, creo que la respuesta es "no".
Editar número 2: la pregunta sin todos los antecedentes
En respuesta a Andrew comentarios, he aquí la pregunta que quiero preguntar, sin todas las dimensiones infinitas preámbulo:
En $\mathbb R^d$ con su habitual métrica, elegir un diferencial de un formulario de $b$ y una función suave $c$, y supongamos que cada uno tiene soporte compacto. Considere el siguiente (no degenerada, no lineal, de segundo orden) la ecuación diferencial para una ruta de $\gamma(t)$: $$ \ddot \gamma = db \cdot \dot\gamma + dc $$ Este es el de Euler-Lagrange ecuación, y por eso voy a abreviar como (EL). En las coordenadas, es la siguiente: $$ \ddot \gamma^i = (\partial\_i b\_j - \partial\_j b\_i) \dot\gamma^j + \partial\_i c $$ Desde (EL) es no degenerada y $b,c$ tiene soporte compacto, cada solución (EL) se extiende a tener dominio de todos los de $\mathbb R$, y las soluciones están en bijection con la tangente bundle ${\rm T}\mathbb R^d = \mathbb R^{2d}$ mediante la identificación de $\gamma$$(\dot\gamma(0),\gamma(0))$.
Para cada una de las $(v,q) \in {\rm T}\mathbb R^d$, definir un segundo orden lineal diferencial operador $h\_{(v,q)}$, dada en coordenadas por: $$ h\_{(v,q)}[\eta]^j(t) = \ddot\eta^j(t) + \bigl(\partial\_i b\_j|\_{\gamma(t)} - \partial\_j b\_i|\_{\gamma(t)}\bigr) \dot\eta^i(t) + \bigl( \partial\_i \partial\_k b\_j|\_{\gamma(t)} \dot\gamma^k(t) - \partial\_i\partial\_j b\_k|\_{\gamma(t)} \dot\gamma^k(t) - \partial\_i\partial\_j c|\_{\gamma(t)}\bigr) \eta^j(t) $$ donde $\gamma$ es la solución a la (EL) con las condiciones iniciales $(\dot\gamma(0),\gamma(0)) = (v,q)$.
Deje $C = {\rm T}\mathbb R^d \times \mathbb R\_{\>0}$. Para $(v,q,T) \in C$, considere la posibilidad de que el operador $h\_{(v,q)}$ como un mapa $$ h\_{(v,q,T)} : \bigl\{ \eta: [0,T] \to \mathbb R^d \text{ s.t. } \eta(0) = 0 = \eta(T) \bigr\} \to \bigl\{ \eta: [0,T] \to \mathbb R^d \bigr\}$$ Definir $C' \subseteq C$ a ser el conjunto de $\{ (v,q,T) \in C \text{ s.t. } \ker h\_{(v,q,T)} = 0\}$.
Entonces tengo las siguientes preguntas:
- Es $C'$ abierto (con la topología inducida por la de $C$)? Me afirmó que era, debido a que los coeficientes de la segunda orden del operador dependen sin problemas, y creo que kernels solo puede saltar en la dimensión en la cerrada de las regiones. Pero yo no estoy 100% seguro.
- Es $C'$ (ruta de acceso) conectado? Este fue mi originalmente planteado, y que sin duda requiere que $b,c$ tiene soporte compacto.
- En realidad, para mi investigación, he necesidad de que para cada una de las $T > 0$, $C' \cap {\rm T}\mathbb R^d \times \{T\}$ es la ruta de acceso conectado. Desde $C'$ incluye todos los $\gamma \in C$ $\gamma([0,T])$ siempre fuera el apoyo de $b,c$, y dado que este conjunto es el camino conectado si los apoyos son compactos, 3. implica 2., pero tal vez 3. es más fuerte. También, tal vez 3. no requiere que el $b,c$ tiene soporte compacto?
Pregunta extra: he utilizado la métrica exactamente una vez en (EL) y exactamente una vez en (HJ), para comparar la gente con aumento de los índices a los que con la reducción de los índices. No sucede nada si tengo que cambiar la firma de la métrica?
El resto es lo que escribí antes:
Antecedentes y definiciones
En $\mathbb R^d$ (con su habitual métrica), elegir un diferencial de un formulario de $b$ y una función suave $c$. La tangente bundle $T\mathbb R^d$ es sólo $\mathbb R^{2d}$; definir el Lagrangiano $L: T\mathbb R^d \to \mathbb R$ $L(v,q) = \frac12 |v|^2 + b(q)\cdot v + c(q)$ donde $v$ es la fibra de coordenadas en $T\mathbb R^d$, $q$ es la base de coordenadas en $\mathbb R^d$, e $\cdot$ es la canónica de emparejamiento de una forma con un vector. Un camino de longitud $t$ es un buen mapa de $\gamma: [0,t] \to \mathbb R^d$; tiene una canónica de levante $(\dot\gamma,\gamma): [0,t] \to T\mathbb R^d$. La acción de un camino de $\gamma$ de la longitud de la $t$ es la integral de la $A[\gamma] = \int_0^t L(\dot\gamma(\tau),\gamma(\tau))d\tau$. Mediante el ajuste de signos, se puede incluir caminos de la negativa de longitud; un camino de longitud $0$ es un punto en $T\mathbb R^d$ y tiene cero acción.
Consideremos el conjunto a $P$ de todas las rutas (de longitud arbitraria); es un infinito-dimensional suave colector. Hay varias natural de las proyecciones de la $P$ a dimensiones finitas. "Inicial-mapa de valor" $P \to T\mathbb R^d \times \mathbb R$ toma un camino de $\gamma: [0,t]\to \mathbb R^d$ a la triple $(\dot\gamma(0),\gamma(0),t)$. Voy a estar más interesado en la "frontera-mapa de valor" $P \to \mathbb R^d \times \mathbb R^d \times \mathbb R$ de los que tomaron $\gamma \mapsto (\gamma(0),\gamma(t),t)$. La fibra de más de un punto en $\mathbb R^d \times \mathbb R^d \times \mathbb R$ es un espacio afín modelado en el espacio de Dirichlet rutas de $\gamma: [0,t] \to \mathbb R^d$$\gamma(0) = 0 = \gamma(t)$.
Me gusta pensar en la acción $A$ como una función de Morse en las fibras de la frontera-mapa de valor. Deje $C \subset P$ el conjunto de las clásicas rutas de acceso, es decir, las rutas de $\gamma$, de modo que $dA|_\gamma \cdot \xi = 0$ si $\xi$ es de Dirichlet ($dA|_\gamma$ es el diferencial de la acción en $\gamma$; $\cdot$ es la canónica de emparejamiento). Equivalentemente, $\gamma \in C$ si $\gamma$ satisface el de Euler-Lagrange las ecuaciones de $\frac{\partial L}{\partial q}(\dot\gamma,\gamma) = \frac{d}{d\tau}\bigl[ \frac{\partial L}{\partial v}(\dot\gamma,\gamma) \bigr]$. Ya que el de Euler-Lagrange las ecuaciones son de segundo orden no degenerada, la inicial-mapa de valor restringe a un diffeomorphism de $C$ a un subconjunto abierto de $T\mathbb R^d \times \mathbb R$ contiene $T\mathbb R^d \times \{0\}$.
Si realmente quiero pensar de $A$ como una función de Morse, que debo exigir que sus puntos críticos (la clásica caminos) no degenerada. Deje $\gamma$ a (clásica) ruta de acceso de la longitud de la $t$, e $V$ el vector de espacio de Dirichlet caminos de longitud $t$. Entonces la segunda derivada Saco o de $A$ está bien definido como un mapa de $H : V \to V^*$. De hecho, el de Hesse tiene sentido como una de segundo orden operador diferencial lineal en el espacio de todos los caminos de longitud $t$. Digamos que una clásica ruta de acceso es no degenerada si $\ker H = 0$ (o, más bien, no intersecta con el espacio $V$ de Dirichlet caminos). El conjunto $C'$ de degenerada clásica de los caminos es un abierto (estoy casi seguro) subconjunto de $C$.
Mi pregunta
Es el espacio de $C'$ (ruta de acceso) conectado?
Pregunta extra: ¿qué sucede si cambia la firma de la métrica en la $\mathbb R^d$?
Editar
La respuesta a mi pregunta original es "no". Vamos $d = 1$, $b = 0$, y $c(q) = \frac12 q^2$. A continuación, una clásica ruta de acceso de la longitud de la $t$ es no degenerada si y sólo si $t$ no es un múltiplo entero de $\pi$. Este es un muy no genérico de Lagrange (es el oscilador armónico, y es exactamente solucionable). También, creo que mis definiciones, caminos de longitud $0$ siempre son degenerados.
Así que permítanme pedir más restringido pregunta. Supongamos que $b$ $c$ sólo se admiten en un compacto de barrio. Luego clásica caminos que no entran en este barrio son, precisamente, las líneas rectas, y todos ellos son genéricos (proporcionado $t \neq 0$). Es cierto que el espacio de la clásica degenerada de caminos positivos longitud está conectado con la restricción de que el $b,c$ tiene soporte compacto?
