Cómo probar esto de la desigualdad(7)?

Question

deje que $x,y,z\in\mathbb{R}$, demostrar que $$4(x^6+y^6+z^6)+5(x^5+y^5z+z^5x)\ge\dfrac{(x+y+z)^6}{27}$$

Lo hago a veces, y creo que este problema,es muy duro,espero que alguien pueda resolver.Gracias

Por este camino: En china BBs: Han de resolver este siga la igualdad $$4(x^6+y^6+z^6)+5(x^5+y^5z+z^5x)\ge 0$$ por $x,y,z\in R$ ver:

http://www.aoshoo.com/bbs1/dispbbs.asp?boardid=48&id=24626&authorid=0&page=3&star=1

Answer 1

La siguiente prueba es bastante más computacional que me hubiera gustado. Esto parece difícil de evitar, porque la desigualdad $$ una(x^6+y^6+z^6) + b(x^5 y + y^5 z + z^5 x) \geq 3(a+b) \left(\frac{x+y+z}{3}\right)^6 $$ se convierte en falsa si el coeficiente de la relación de $b/$ es mayor de $1.25$ a $1.33$ (intente $(x,y,z) = (6,11,-10)$). En el lado positivo, la técnica se aplica a muchos otros tales desigualdades.

Por $x,y,z \in {\bf R}$ vamos $$ F(x,y,z) = 4(x^6+y^6+z^6) + 5(x^5 y + y^5 z + z^5 x) - \frac{(x+y+z)^6}{27}. $$ Pretendemos que $F(x,y,z) \geq 0$, con igualdad si y sólo si $x=y=z$. Por la homogeneidad y simetría cíclica podemos suponer que $x=1$ y escribir $(x,y,z) = (1,1,1) + (0,c,rc)$ de $c,r$. [Si $y=1$ y $z\neq 1$ podemos utilizar el equivalente a $(1,1,1) + (rc,0,c)$.] La fijación de $r$, vemos que $F(x,y,z)$ es un sextic en $c$, con una doble raíz $c=0$, por lo que podemos escribir $$ F(1,1)+c,1+rc) = c^2 Q_r(c) $$ para algunos el cuarto grado $Q_r$. Pretendemos que $Q_r(c) > 0$ para todo real $c$. Para cualquier $r$, digamos $r=0$, esto es fácil de comprobar mediante la observación de que $Q_r(c) > 0$ (por ejemplo $Q_0(c) > 65$) y el cálculo de la raíces complejas de $Q_r$ a suficiente precisión para asegurarse de que ninguno de ellos es real. Ahora, a medida que varían de $r$, las raíces deben permanecer no-real mientras que son distintos (porque ellos varían continuamente con $Q_r$, que varía de forma continua con $r$). Así, el discriminante de $Q_r$ con respecto a $c$ es un poco complicado polinomio $P(r)$, de grado $24$, que, sin embargo, todavía lo suficientemente pequeño como para calcular todas sus raíces complejas. Resulta que ninguno de ellos es real (el más pequeño imaginaria son sobre $\pm 0.11$). Por lo tanto $Q_r$ tiene distintas raíces para todo $i \in {\bf R}$, y hemos terminado.

[$P$ es un poco más simple que el de su grado y el coeficiente de tamaño indican: la simetría cíclica de $F$ es heredado por $P$, que satisface $P(r) = r^{24} P(\frac{i-1}{r})$; NB la aplicación de la fracción lineal la transformación $r \mapsto \frac{i-1}{r}$ más de tres veces devuelve $r$. Así que podemos escribir $$ \frac{P(r)}{(r-r^2)^8} = P_1\Bigl(\frac{1-3r+r^3}{r-r^2}\Bigr) $$ para algunos polinomio $P_1$ de grado $8$. Pero esta $P_1$ es todavía demasiado largo para caber en una sola línea de la fórmula: es de $5^3/3^9$ veces el polinomio cuyos coeficientes (listado de los principales constante) son 65402051, 380534982, 2948475267, 8118916470, 30806414100, 47234529054, 159944730867, 165184306830, 420238105803. Aquí las piezas imaginarias de las raíces es de alrededor de $\pm 2.06$, $\pm 2.33$, $\pm 2.52$, $\pm 4.35$, todo de forma segura lejos de cero.]

Answer 2

Definición: $$ f(x,y,z) = 4(x^6+y^6+z^6) + 5(x^5 y + y^5 z + z^5 x) - \frac{(x+y+z)^6}{27} $$ Tenemos que probar que $\;f(x,y,z) \ge 0\;$ para todo $\;x,y,z \in {\bf R}$ .
Por $\;x=y=z=r\;$ igualdad se tiene: $\;f(r,r,r)= 12 r^6 + 15 r^6 - (27^2 r^6)/27 = 0$ .
Como ha sido notado por user64494, el problema es invariante para el escalado de las variables con un factor $t$ : si la afirmación es verdadera por $(x,y,z)$ entonces es cierto por $(t x,t y,t z)$ así. Lo que significa que, sin pérdida de generalidad, podemos considerar, en lugar de sólo normativa soluciones, con $t=1/\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. Que es: con $x=y=z=0$ como la única excepción. Nota, sin embargo, que ya hemos cubierto en este caso, con $f(r,r,r)=0$, donde $r=0$ . Por lo tanto WLOG podemos definir un adicional de restricción de $\g\,$ para todo $(x,y,z)$ con $(x \ne 0) \vee (y \ne 0) \vee (z \ne 0)$ : $$ g(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 = 1 $$ En mi respuesta a una pregunta similar, la siguiente clave de referencia se menciona:

• Hacer simétrica de los problemas tienen soluciones simétricas?

A partir de esta referencia, tenemos (de nuevo) el siguiente
Teorema (El Purkiss Principio). Deje que $f$ y $g$ ser simétrica funciones continuas las segundas derivadas en la vecindad de un punto $P = (r, \cdots, r)$. En el conjunto donde $g$ equivale a $g(P)$, la función $f$ se tiene un máximo local o un mínimo de $P$, excepto en degenerados de los casos.
Las funciones $\;f(x,y,z)\;$ y $\;g(x,y,z)\;$ ya han sido definidos en consecuencia.
Ahora $\;g(r,r,r) = 3r^2 = 1$ , por lo tanto el punto $P\;$ es: $(r,r,r) = (1,1,1)/\sqrt{3}\;$ y $\;f(r,r,r) = 0\;$ debe ser de un mínimo o un máximo.
Es fácil mostrar que la primera y la segunda derivadas de $f$ y $g$ son como los ejemplos en el papel - anterior a la prueba del Teorema de allí; y obedeciendo todos los Lemas allí - por lo tanto la prevención de las excepciones a la Purkiss principio.
Primero las derivadas de orden: $$ \left[ \begin{array}{c} \partial f / \partial x \\ \partial f / \partial y \\ \partial f / \partial z \end{array} \right] (r,r,r) = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] = \lambda \left[ \begin{array}{c} \partial g / \partial x \\ \partial g / \partial y \\ \partial g / \partial z \end{array} \right] (r,r,r) = 0 \left[ \begin{array}{c} 2 r \\ 2 r \\ 2 r \end{array} \right] $$ De segundo orden derivados de: $$ \left[ \begin{array}{ccc} \partial^2 f/\partial x^2 & \partial^2 f/\partial x \partial y & \partial^2 f/\partial x \partial z \\ \partial^2 f/\partial x \partial y & \partial^2 f/\partial y^2 & \partial^2 f/\partial y \partial z \\ \partial^2 f/\partial x \partial z & \partial^2 f/\partial y \partial z & \partial^2 f/ \partial z^2 \end{array} \right] (r,r,r) = \left[ \begin{array}{ccc} 130 r^4 & -64 r^4 & -64 r^4 \\ -64 r^4 & 130 r^4 & -64 r^4 \\ -64 r^4 & -64 r^4 & 130 r^4 \end{array} \right]$$ Estructura Similar, como se requiere, en: $$ \left[ \begin{array}{ccc} \partial^2 g/\partial x^2 & \partial^2 g /\partial x \partial y & \partial^2 g/\partial x \partial z \\ \partial^2 g/\partial x \partial y & \partial^2 g/\partial y^2 & \partial^2 g/\partial y \partial z \\ \partial^2 g/\partial x \partial z & \partial^2 g/\partial y \partial z & \partial^2 g/ \partial z^2 \end{array} \right] (r,r,r) = \left[ \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right] $$ El formulario de segundo orden derivados de las matrices garantiza que $\;f(r,r,r)\;$ debe ser de un mínimo.

Actualización en respuesta a la observación formulada por David Speyer.
Debido a la restricción de $x^2+y^2+z^2=1$ todo el problema puede ser re-formulado en esféricas coordenadas: $(x,y,z)=(\cos(\theta)\cos(\phi)\cos(\theta)\sin(\phi)\sin(\theta))$ con $-\pi/2<\theta<+\pi/2$ y $-\pi<\phi<+\pi$ . Sustituir estos en $f(x,y,z)$ y hacer un gráfico de contorno $(\phi\theta)$ . Hemos hecho esto por $f(x,y,z) = k/3 \; , \; k = 1,\cdots\,15$ . Más oscuro líneas se corresponden con los mayores valores de $f$ . Lugares donde $f(x,y,z) < 0.01$ son color $\color{red}{rojo}$ y los lugares de los mínimos de $\;\pm 1/\sqrt{3}(1,1,1)\;$ esféricas en coordenadas se indican con un $\color{blue}{blue}$ círculo. Vemos que los círculos y las manchas de color rojo que coinciden y que los valores de la función son uniformemente decreciente en el barrio de estos.