[Editado para añadir las citas de Euler y otros de Dickson]
Cada una de las $E_\pm: x^4 \pm x^2 y^2 + y^4 = z^2$ es una curva elíptica.
Resulta que, en cada caso, una de Fermat-el estilo de la "descendencia"
es suficiente para encontrar todas las soluciones; en la práctica, estos días
estas preguntas se resuelven mediante la reducción de la curva a su forma estándar
y a continuación, el uso de software como J. Cremona mwrank,
o la consulta de las tablas de la curva elíptica
si la curva es lo suficientemente simple como para estar en las mesas de $-$ como es
el caso aquí donde Tingley "Amberes" tablas contienen ya
ambas curvas. Las soluciones se $(x,y,z) = (t,0,\pm t^2)$ y,
para $E_-$, también se $(x,y,z) = (t,\pm t, \pm t^2)$.
Una forma fácil de mapa de $x^4 \pm x^2 y^2 + y^4 = z^2$ a un
curva elíptica en "forma de Weierstrass"
es dejar que $t = x/y$ (asumiendo $y \neq 0$, pero si $y=0$, entonces es fácil),
de modo que $t^4 \pm t^2 + 1$ es un cuadrado, y luego deje $X = t^2$, por lo que
$X^3 \pm X^2 + X = Y^2$. La curva es entonces, en el extendido de Weierstrass
formulario
$$
Y^2 + a_1 X Y + a_3 Y = X^3 + a_2 X^2 + a_4 X + a_6
$$
con $(a_1, a_2, a_3, a_4, a_6) = (0,\pm1,0,1,0)$.
[Estas curvas de $Y^2 = X^3 \pm X^2 + X$ son no isomorfos con $E_\pm$,
pero son "2-isogenous", que es lo suficientemente bueno para nuestros propósitos,
y, en cualquier caso, el "descenso" enfoque requiere la solución de $Y^2 = X^3 \pm X^2 + X$
así.]
Ahora podemos buscar estos coeficientes en las tablas, o entrar en
mwrank y gp, para encontrar que para ambas opciones de $\pm$
hay un número finito de soluciones racionales,
con $X=0$ (a $E_-$)$X=1$. Por lo tanto las únicas soluciones
con $xy=0$ son los con $x=\pm y$$E_-$, etc.
[Añade más adelante: ya que esta es una pregunta natural que es manejable
pero no trivial, no es de extrañar que se ha preguntado y respondido antes.
De hecho Dickson de la Historia de la Teoría de los Números, Vol. IIdedica
varias páginas a tales ecuaciones (Capítulo XXII, comenzando en la página 634),
comenzando con el de Euler de trabajo en $x^4+kx^2y^2+y^4=\Box$. El presente
la pregunta se refiere a los casos $k=\pm 1$, llama $E_\pm$ por encima.
El resultado en $E_-$ se ha dicho en Euler Álgebra(1770),
pero sin la prueba, que fue el primero que se suministra en la década de 1800.
Como para $E_+$, "R. Adrian$^{112}$ probado por el descenso que
$x^4+x^2y^2+y^4 \neq \Box$", presumiblemente excluyendo el trivial $xy=0$;
nota de pie de página 112 se refiere a Las Matemáticas. Diario, Nueva York, 1 De 1825, 147-150,
con citas de trabajo posterior por Genocchi (1855; en él había un uso posterior elíptica de la curva de
el descenso a probar de Fermat para el exponente 7) y Pocklington (1914, pero todavía
hace más de un siglo).]
