Tengo una moneda justa, y la lanzo hasta que se cumpla la siguiente condición:
#cara - #sello = N O #sello - #cara = Ndonde $N \geqslant 2$.
¿Cuál es el número esperado de veces que lanzo la moneda?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Sea $X_t$ el exceso de caras sobre cruces después del $t$-ésimo lanzamiento de moneda. Entonces, este problema se convierte en un resultado bien conocido en la teoría de caminatas aleatorias, que se resuelve utilizando análisis del primer paso.
Sea $f(x)$ el número esperado de pasos necesarios para que $X_t$ alcance $\{-N,N\}$ comenzando en el estado $x$. Esta función satisface $$f(-N)=0,\ f(N)=0,\ \text{ y } f(x)=1+{f(x-1)+f(x+1)\over 2} \text{ para }-N
Esto obliga a que $f(x)$ sea una función cuadrática, y ya que conocemos las dos raíces $-N$ y $N$, concluimos que $f(x)=(N+x)(N-x).$ En particular, en $x=0$ obtenemos $f(0)=N^2$.
John
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Esta es una respuesta que contiene mucha probabilidad "moderna" en ella y debería servir como motivación para estudiar la formulación measure-teórica de la probabilidad.
Considera $S_n$ como una caminata aleatoria, es decir, un proceso en $\mathbb{Z}$ tal que comienza en $0$ y en cada paso se mueve $+1$ o $-1$ con igual probabilidad.
Estamos interesados en $\mathbb{E}[T]$, donde $T=\min \{n : |S_n|=N \}$. $T$ es un ejemplo de un tiempo de parada.
Se puede demostrar que $(S_n)_{n\geq0}$ y $(S_n^2-n)_{n\geq0}$ son ambos martingalas. La aplicación de una versión apropiada del Teorema de Parada Opcional produce:
$$0=\mathbb{E}[S^2_T-T]$$ Claramente $\mathbb{E}[S^2_T]=\frac{1}{2}N^2+\frac{1}{2}N^2=N^2$, porque la caminata aleatoria es simétrica, y por lo tanto la respuesta.
Hay detalles cruciales omitidos en la aplicación del Teorema de Parada Opcional, por lo que esta no es una respuesta completa de ninguna manera.
