¿Cómo probar esta integral?

Question

Este es mi problema, ¿verdadero o falso?

probar que:

$$\int_{0}^{\infty}\frac{\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}}k\sin(kx)\,e^{-tk^2}}{\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}}\cos(kx)\,e^{-tk^2}}dt=\frac{\pi^2({\pi-x})}{8}$$ y $0<x<\dfrac{\pi}{2}$

Gracias.

Answer 1

La respuesta parece no ser cierto. Aquí están los argumentos. Deje $x=\pi/4$, entonces el denominador es una función derivable de $t$ $[0.05,1]$ a medida que la serie $$ \sum_{k=1}^\infty e^{-0.05k^2}$$ rapidly converges. Up to a numerical solution, the denominator equals zero at $t=0.08560978493249566136215339$ and the numerator is positive on $[0.05,1].$ Therefore, the integral under consideration diverges in the case $x=\pi/4.$ Ver los cálculos en una de Arce archivo exportado como un *.archivo pdf que se puede descargar desde RapidShare.

Answer 2

Pongamos $q = e^{-t}$, de modo que $dq/q = -dt$. También si vemos la definición de la teta de la función$\vartheta_{3}(z, q)$ dada por $$\vartheta_{3}(z, q) = 1 + 2\sum_{k = 1}^{\infty}q^{k^{2}}\cos (2kz)$$ entonces nos encontramos con que el denoninator en la integral se puede escribir como $$\frac{\vartheta_{3}(x/2, q) - 1}{2} = \sum_{k = 1}^{\infty}q^{k^{2}}\cos (kx)$$ La diferenciación de este con respecto a $x$ tenemos $$-\frac{1}{2}\vartheta_{3}'(x/2,q) = \sum_{k = 1}^{\infty}q^{k^{2}}k\sin(kx)$$ que es el numerador de la integral. Así la deseada integral es $$I = -\int_{0}^{1}\frac{\vartheta_{3}'(x/2, q)}{\vartheta_{3}(x/2, q) - 1}\frac{dq}{q}$$

Después de esto he intentado usar varios theta función de las identidades y la diferenciación bajo el signo integral, pero nada parece funcionar, especialmente a causa de la $-1$ en el denominador.