Sea $S$ sea el conjunto de los números reales $x$ tal que existen infinitos números racionales (reducidos) $p/q$ tal que $$\left\vert x-\frac{p}{q}\right\vert <\frac{1}{q^8}.$$ Me gustaría demostrar que $\mathbb{R}\setminus S$ es un conjunto escaso (es decir, la unión de contablemente muchos conjuntos densos en ninguna parte). No tengo ni idea de cómo demostrar esto, ya que apenas visualizo el problema en mi mente. Supongo que el exponente $8$ no es sólo un número aleatorio, ya que me parece que con exponentes más bajos (quizás $2$ ?) la desigualdad se cumple para infinitos racionales para cada $x\in\mathbb{R}$ .
¿Podría ayudarme con eso?
Gracias.
