Demostrar que $AB=BA=0$ para dos matrices idempotentes.

Question

Supongamos que $A, B$ son matrices idempotentes ( $A^2=A$ ), de manera que $A + B$ es idempotente, demuestre que $AB = BA = 0$

Answer 1

Esto es cierto en todos los anillos en los que se puede dividir por $2$ . Por lo tanto, es cierto en particular para las matrices.

Tenemos $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2=A+AB+BA+B$ . Desde $A+B$ es idempotente, se deduce que $$AB+BA=0.$$ Llamamos a esta ecuación (E).

Derecha-multiplica (E) por $B$ . Encontramos $AB+BAB=0$ Por lo tanto $AB=-BAB$ .

Multiplicar a la izquierda (E) por $B$ . Esto da como resultado $BAB+BA=0$ Por lo tanto $BA=-BAB$ .

Igualando las dos últimas ecuaciones, encontramos $AB=BA$ .

Ahora $AB+BA=0$ claramente da como resultado $2AB=2BA=0$ . Dividiendo por $2$ obtenemos $$ AB=BA=0. $$

Answer 2

Esto es incorrecto.

Por ejemplo $F=\mathbb{F}_{2}$ el campo con dos elementos y $A=B=I$ en $F$ .

$A,B$ son claramente idempotentes y $$A+B=I+I=2I=0$$ por lo que $$(A+B)^{2}=0^{2}=0=A+B$$ también es idempotente.

Pero $$AB=BA=I^{2}=I\neq0$$

De su suposición sólo se puede obtener $AB+BA=0$ .