Completo la exquisita respuesta de Ted.
Esto es complicado: los dos casos parecen iguales, pero no lo son.
El primero es un derecha acción $v \cdot (p_1 \cdot p_2) = (v \cdot p_1) \cdot p_2$ ,
mientras que el segundo es un gauche acción $p_1 \cdot (p_2 \cdot f) = (p_1 \cdot p_2) \cdot f$ .
Para ver por qué, considere estas 2 permutaciones:
$\color{tomato}{p_1(1) = 1, p_1(2) = 3, p_1(3) = 2} $
$\color{tomato}{p_2(1) = 3, p_2(2) = 2, p_2(3) = 1}.$
Escribamos explícitamente cuáles son las acciones en los dos casos para ver la diferencia.
En primer lugar, veamos cuáles son las composiciones $p_1 \cdot p_2$ y $p_2 \cdot p_1$ son.
La composición $p_1 \cdot p_2$ es: $\qquad p_1(p_2(1)) = 2, p_1(p_2(2)) = 3, p_1(p_2(3)) = 1$
mientras que la composición $p_2 \cdot p_1$ es: $\qquad p_2(p_1(1)) = 3, p_2(p_1(2)) = 1, p_2(p_1(3)) = 2.$
Observe que son no lo mismo. Los utilizaremos más adelante.
Ahora veamos las 2 acciones. La primera acción es sobre vectores . Por la definición de la primera acción, $$p_1 \cdot (v_1, \color{magenta}{v_2}, \color{limegreen}{v_3}) = (v_{\LARGE{p_1(1)}}, \color{limegreen}{v_{{\LARGE{p_1(2)}}}}, \color{magenta}{v_{\LARGE{p_1(3)}}}) = (v_1, \color{limegreen}{v_3}, \color{magenta}{v_2}). $$
En palabras: $p_1$ actuando sobre un vector intercambia las coordenadas segunda y tercera . Del mismo modo, $$p_2 \cdot (v_1, v_2, v_3) = (v_3, v_2, v_1). \tag{♥} $$ En palabras: $p_2$ actuando sobre un vector intercambia las coordenadas primera y tercera .
En esta situación, creo que pensar con palabras reduce la confusión: $p_1$ intercambia el segunda y tercera coordenadas no $v_2$ y $v_3$ . Verás la diferencia a continuación. Por lo tanto:
$\begin{align} p_1 \cdot (p_2 \cdot v) = p_1 \cdot (p_2 \cdot (v_1, v_2, v_3)) = by (♥) = p_1 \cdot (v_3, \color{magenta}{v_2}, \color{limegreen}{v_1}) & = (v_3, \color{limegreen}{v_1}, \color{magenta}{v_2}) \tag{☼}\\ & \neq (v_{\LARGE{p_1(1)}}, v_{{\LARGE{p_1(2)}}}, v_{\LARGE{p_1(3)}}). \end{align} $
Si la última igualdad le parece incorrecta, utilice la descripción "palabras" de $p_1$ : Intercambia la segunda y tercera coordenadas).
Preguntas: ¿Tiene $p_1 \cdot (p_2 \cdot v) = (p_2 \cdot p_1) \cdot v$ o $(p_1 \cdot p_2) \cdot v$ ? No es necesario calcular estos dos.
Basta con mirar la naranja para determinar si $(v_3, \color{limegreen}{v_1}, \color{magenta}{v_2})$ en $(☼)$ es $(v_{\Large{p_1(p_2)(1)}},v_{\Large{p_1(p_2)(2)}}, ...)$ o $(v_{\Large{p_2(p_1)(1)}}, v_{\Large{p_2(p_1)(2)}}, ...)$ .
Conclusión: Para la primera acción, sobre los vectores, $p_1 \cdot (p_2 \cdot v) = (p_2 \cdot p_1) \cdot v$ .
Así que no es una acción de izquierdas, sino de derechas.
Ahora mira la segunda acción, que no es sobre vectores, sino sobre funciones de valor real sobre el conjunto de todos los vectores . Por definición, $$(p_1 \cdot f)(x_1, x_2, x_3) = f(x_{\LARGE{p_1(1)}}, x_{\LARGE{p_1(2)}}, x_{\LARGE{p_1(3)}}) = f(x_1, x_3, x_2).$$
En palabras: Evaluar $p_1$ aplicada a una función en un vector, intercambia la segunda y tercera coordenadas del vector, luego aplica la función.
Del mismo modo, para $p_2$ , $(p_2 \cdot f)(\color{limegreen}{x_1}, x_2, \color{magenta}{x_3}) = f(\color{magenta}{x_{\LARGE{p_2(1)}}}, x_{\LARGE{p_2(2)}}, \color{limegreen}{x_{\LARGE{p_2(3)}}}) = f(\color{magenta}{x_3}, x_2, \color{limegreen}{x_1})$
La versión en palabras es: Evaluar $p_2$ aplicada a una función en un vector, intercambia la primera y tercera coordenadas del vector, luego aplica la función.
Entonces, ¿qué es $p_1 \cdot (p_2 \cdot f)$ aplicado a un vector? Es $$ \begin{align} (p_1 \cdot (p_2 \cdot f))(x_1, x_2, x_3) = (p_2 \cdot f)(\color{limegreen}{x_1}, x_3, \color{magenta}{x_2}) & = f(\color{magenta}{x_2}, x_3, \color{limegreen}{x_1}) \\ & \neq f(x_{\LARGE{p_2(1)}}, v_{{\LARGE{p_2(3)}}}, v_{\LARGE{p_2(2)}}). \end{align} $$
(Una vez más, el uso de la descripción "palabras" puede reducir la confusión.) Ahora bien, ¿es este último término $p_1 \cdot p_2$ o $p_2 \cdot p_1$ aplicado a $f$ ? Es lo primero, como puede verse en los cálculos naranjas de $p_1 \cdot p_2$ arriba.
Conclusión: $p_1 \cdot (p_2 \cdot f) = (p_1 \cdot p_2) \cdot f$ . Esta es una acción de izquierda.
Espero que esto aclare por qué estos dos casos no son iguales. Por supuesto, aún no he demostrado que se trate de acciones en general (sólo lo he ilustrado para el caso concreto de $p_1$ y $p_2$ más arriba), pero esperemos que esto te dé la idea correcta para la prueba general.
El punto clave es recordar que con estas definiciones, estamos permutando el coordenadas del vector según $p$ en lugar del índices del $v$ 's según $p$ . Si hiciéramos esto último en su lugar, los casos de acción izquierda y derecha anteriores se invertirían. Véase alias vs coartada para profundizar en este punto.
