$(f_n)$ $L^p(\Omega)$ satisfacción $f_n(x) \to f(x)$.e. y $\|f_n\|_p \to \|f\|_p$,$\|f_n - f\|_p \to 0$?

Question

Deje $1 < p < \infty$. Si $(f_n)$ es una secuencia en $L^p(\Omega)$ satisfactorio

1. $f_n(x) \to f(x)$ .e.,
2. $\|f_n\|_p \to \|f\|_p$,

luego de lo anterior se sigue que el $\|f_n - f\|_p \to 0$?

Edit. Aquí está mi solución.

Para $A \subseteq \Omega$,\begin{align*}\|f_n - f\|_q & \le \|f_n - f\|_{u,\,\Omega - A}|\Omega - A|^{1\over q} + |A|^{{1\over q} - {1\over p}}\|f_n - f\|_p \\ & \le \|f_n - f\|_{u,\,\Omega - A}|\Omega - A|^{1\over q} + 2|A|^{{1\over q} - {1\over p}} \sup \|f_n\|_p \\ & \le \|f_n - f\|_{u,\,\Omega - A} |\Omega - A|^{1\over q} + 2M|A|^{{1\over q} - {1\over p}},\end{align*}donde la segunda línea de la siguiente manera por Fatou del lexema. Por Egorova del teorema, podemos optar $A$ arbitrariamente pequeños, que $f_n \rightrightarrows f$$\Omega - A$, por lo que estamos por hacer.

Me preguntaba si alguien tenía algún soluciones alternativas a este problema?

Answer 1

Utilice el hecho de que $$ 0 \leq 2^p (|f_n|^p +|f|^p) -|f_n-f|^p. $$ Por lo tanto, por Fatou del lema, $$ 2^{p+1} \int_\Omega |f|^p \leq \liminf_{n \+\infty} \int_\Omega \left( 2^p (|f_n|^p +|f|^p) -|f_n-f|^p \right) = 2^{p+1} \int_\Omega |f|^p - \limsup_{n \+\infty} \int_\Omega |f_n-f|^p. $$ La observación de que esto es cierto también para $p=1$.

Answer 2

Fatou del Lema muestra que $$\int_A|f|^p\le\liminf\int_A|f_n|^p$$for any $Un$. Applying this to $$ and to $X\setminus Un$ and noting that $||f_n||_p\a||f||_p$ we see that in fact $$\int_A|f|^p=\lim\int_A|f_n|^p.$$

Decir $\epsilon>0$. Elegir un conjunto $E$ finito de medida así $$\int_{X\setminus E}|f|^p<\epsilon.$$Choose $\delta>0$ so $\mu(A)<\delta$ implies $\int_A|f|^p<\epsilon$, and use Egoroff to get $F\subconjunto de E$ with $\mu(E\setminus F)<\delta$ and such that $f_n\a f$ uniformly on $F$. Now the thing at the start shows that $$\int_{X\setminus F}|f_n-f|^p<c\epsilon$$for large $n$, and $$\int_{F}|f_n-f|^p\to0.$$