Compruebe si $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{(1-z^n)^k}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sigma_{k-1}(n)z^n$

Question

Es cierto que

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{(1-z^n)^k}=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma_{k-1}(n)z^n$$

Si sí, ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Uno puede comenzar a partir de la identidad $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{(1-z^n)^k}=\sum_{n\geqslant1}z^n\sum_{i_1\geqslant0}z^{ni_1}\cdots\sum_{i_k\geqslant0}z^{ni_k}=\sum_{n,i_1,\ldots,i_k}z^{n(1+i_1+\cdots+i_k)}=\sum_{N\geqslant1}\gamma_N^kz^N, $$ donde $\gamma_N^k$ es el tamaño del conjunto $$\{(n,i_1,\ldots,i_k)\mid\,(1+i_1+\cdots+i_k)\cdot n=N,\,n\geqslant1,\,\forall1\leqslant j\leqslant k,\, i_j\geqslant0\}.$$ Por lo tanto, $n$ divide $N$ por lo tanto $d=N/n$ divide $N$. Para cada $d$, el número de $k$-tuplas $(i_1,\ldots,i_k)$ tal que $i_1+\cdots+i_k=d-1$ y cada una de las $i_j$ es no negativa es el coeficiente de $x^{d-1}$ en la serie $$ \left(\sum_{i\geqslant0}x^i\right)^k=\frac1{(1-x)^k}=\sum_{m\geqslant0}{m+k-1\elegir k-1}x^m. $$ Esto muestra que, para cada $N\geqslant1$, $$ \gamma_N^k=\sum_{d\mediados N}{d+k-2\elegir k-1}. $$ Por lo tanto, $(\gamma^k_N)_N$ es no la secuencia de $(\sigma_{k-1}(N))_N$, excepto si $k=1$ o $k=2$, por ejemplo, si $k=3$, $$ \gamma_N^3=\sum_{d\mediados N}\tfrac12d(d+1)=\tfrac12\sigma_2(N)+\tfrac12\sigma_1(N). $$ Más generalmente, $\gamma_N^k$ es un baricentro de los coeficientes $\sigma_{1}(N)$, $\sigma_{2}(N)$, ..., $\sigma_{k-1}(N)$. Por último, tenga en cuenta que, para cada $k\geqslant1$, $$\gamma_1^k=1,\quad\gamma_2^k=1+k,\quad\gamma_3^k=1+\tfrac12k(k+1),\quad\gamma_4^k=1+k+\tfrac16k(k+1)(k+2).$$

Answer 2

$\displaystyle{% \sum_{n = 1}^{\infty}{z^{n} \\izquierdo(1 - z^{n}\right)^{k}} = \sum_{n = 1}^{\infty}\sigma_{\,k - 1}\left(n\right)z^{n}:\ {\large ?} \quad\mbox{donde}\quad \sigma_{\,k - 1}\left(n\right) \equiv \sum_{d\,|\,n}d^{k - 1}}$

Con $\left\vert z\right\vert < 1$:

$$ {1 \over 1 - z} = \sum_{\ell = 0}^{\infty}z^{\ell}\,, \quad {1 \over \left(1 - z\right)^{2}} = \sum_{\ell = 1}^{\infty}\ell\,z^{\ell - 1}\,, \quad {1 \over \left(1 - z\right)^{3}} = {1 \más de 2} \sum_{\ell = 2}^{\infty}\ell\left(\ell - 1\right)z^{\ell - 2} $$

$$ {1 \over \left(1 - z\right)^{4}} = {1 \más de 3\cdot 2} \sum_{\ell = 3}^{\infty}\ell\left(\ell - 1\right)\left(\ell - 2\right) z^{\ell - 3}\,, \quad \ldots $$

$$ \begin{array}{rcl}\hline\\ {1 \over \left(1 - z\right)^{k}} & = & {1 \over \left(k - 1\right)!} \sum_{\ell = k - 1}^{\infty}\ell\left(\ell - 1\right)\ldots \left(\ell - k + 2\right)z^{\ell - k + 1} \\[3mm]& = & {1 \over \left(k - 1\right)!} \sum_{\ell = k - 1}^{\infty}{\ell! \over \left(\ell - k + 1\right)!}\, z^{\ell - k + 1} \\[3mm]& = & \sum_{\ell = k - 1}^{\infty}{\ell \choose k - 1}z^{\ell - k + 1} = \sum_{\ell = 0}^{\infty}{\ell + k - 1\choose k - 1}z^{\ell} \\ \\ \hline \end{array} $$

A continuación,

\begin{align} \color{#ff0000}{\large\sum_{n = 1}^{\infty}{z^{n} \over \left(1 - z^{n}\right)^{k}}} &= \sum_{n = 1}^{\infty}z^{n}\sum_{\ell = 0}^{\infty}{\ell + k - 1\choose k - 1} z^{n\ell} = \sum_{\ell = 0}^{\infty}{\ell + k - 1 \choose k - 1} \sum_{n = 1}^{\infty}z^{n\ell + n} \\[3mm]&= \sum_{\ell = 0}^{\infty}{\ell + k - 1\choose k - 1} {z^{\ell + 1} \over 1 - z^{\ell + 1}} \\[3mm]&= \sum_{\ell = 0}^{\infty}{\ell + k - 1 \choose k - 1} z^{\ell + 1}\sum_{\ell' = 0}^{\infty}\left(z^{\ell + 1}\right)^{\ell'} \sum_{n = 1}^{\infty}\delta_{n, \ell + \ell' + \ell\ell' + 1} \\[3mm]&= \sum_{n = 1}^{\infty}z^{n} \sum_{\ell = 0}^{\infty}{\ell + k - 1 \choose k - 1} \sum_{\ell' = 0}^{\infty}\delta_{n,\ell + \ell' + \ell\ell' + 1} \\[3mm]&= \sum_{n = 1}^{\infty}z^{n} \sum_{\ell = 1}^{\infty}{\ell + k - 2 \choose k - 1} \sum_{\ell' = 1}^{\infty}\delta_{n,\ell\ell'} = \color{#ff0000}{\large\sum_{n = 1}^{\infty}z^{n} \sum_{\ell = 1 \atop \ell\,|\,n}^{n}{\ell + k - 2 \choose k - 1}} \end{align}

Answer 3

Esta identidad es cierto sólo para $k=1,2$$|z|<1$. Usted puede utilizar este teorema.

Suma por Curvas Teorema. Absolutamente convergente la serie de $\sum a_{mn}$ sí converge. Por otra parte, Si $S_1\subseteq S_2\subseteq S_3\subseteq ...\subseteq\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ es una secuencia no decreciente de conjuntos finitos tiene la propiedad de que para cualquier $m,n$ no es un porcentaje ($\ell$tal que $$\mathbb{N}_m\times\mathbb{N}_n\subseteq S_\ell\subseteq S_{\ell+1}\subseteq S_{\ell+2}\subseteq ...,$$ then the sequence $s_\ell$ convergence, where $s_\ell$ is the finite sum $s_\ell:=\sum_{(m,n)\S_\ell}a_{mn},$ and furthermore $\sum a_{mn}=\lim s_\ell.$

Deje $S_\ell=T_1\bigcup...\bigcup T_\ell, T_\ell=\lbrace(m,n)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N};mn=\ell\rbrace$

para $k=1$ tenga en cuenta que $$\frac{1}{1-z^n}=\sum_{m=0}^{\infty}z^{mn}=\sum_{m=1}^{\infty}z^{n(m-1)}$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{1-z^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}z^{mn}=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma_0(n)z^n.$$

para $k=2$ tenga en cuenta que $$\frac{1}{(1-z^n)^2}=\sum_{m=1}^{\infty}mz^{n(m-1)}$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{(1-z^n)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}mz^{mn}=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma_1(n)z^n.$$

Answer 4

Lo que puedes probar es que el $$ \sum_{n=1}^\infty \sigma_k(n)z^n = \sum_{m=1}^\infty f_k(z^m) $$ donde $f_k(u) = \left(u\dfrac{d}{du}\right)^k \dfrac{u}{1-u}$. Para $k\in\{0,1\}$ esta es la fórmula, pero ya no para $k \geq 2$.

Prueba. $$ \sum_{n=1}^\infty \sigma_k(n)z^n = \sum_{n=1}^\infty \sum_{i \mediados n}r^k z^n = \sum_{i=1}^\infty \sum_{m=1}^\infty r^k z^{rm} = \left(z\frac{d}{dz}\right)^k\sum_{i=1}^\infty \sum_{m=1}^\infty \frac{z^{rm}}{m^k} $$ y $$ \sum_{i=1}^\infty \sum_{m=1}^\infty \frac{z^{rm}}{m^k} = \sum_{m=1}^\infty \frac{1}{m^k}\frac{z^m}{1-z^m}. $$