Una función de dos distribuciones de probabilidad acumulativa con la misma primeros 2 momentos

Question

Deje $\Phi_1$ $\Phi_2$ probabilidad acumulada de la distribución de funciones con dominio $[L, \infty)$, $L\geq 0$, ambas distribuciones tener la misma expectativa $\mu$ y el mismo segundo momento (por lo tanto finito segundo momento, $\textbf{a modification and added constraint to the earlier post}$), y la curtosis de la distribución detrás de $\Phi_2$ es mayor que la de $\Phi_1$ (nueva restricción).

Buscando si $G'-G \geq 0$ $, con

$$G=1-\frac{1}{\mu}\int_L^\infty \left(1- \Phi_1(x)\right)^2 \, \mathrm{d} x$$

$$G'=1-\frac{1}{\mu}\int_L^\infty \left(1- \frac{1}{2}\left(\Phi_1(x)+\Phi_2(x)\right)\right)^2 \, \mathrm{d} x$$

$\textbf{Approach: }$ Considere la posibilidad de un cuadrado integrable función de $s(x):[L,\infty) \rightarrow (-1,1)$, como una diferencia, con $\Phi_2(x)=\Phi_1(x) + s(x)$.

$$G'-G=\frac{1}{\mu}\left(\int_L^{\infty } s(x) \, dx- \int_L^{\infty } s(x) \Phi (x) \, dx-\frac{1}{4}\int_L^{\infty } s(x)^2 \, dx\right) $$

Parece que tenemos $\int_L^\infty s(x) \, dx=0$$\int_L^\infty x \, s(x) \, dx=0$, ya que ambas distribuciones tienen la misma dos primeros momentos y en el positivo de dominio, e integrando por partes obtenemos $ \int_L^\infty \left(1-\Phi(x)\right) \, dx= \int_L^\infty \left(1-\Phi(x)-s(x)\right) \, dx$, e $ \int_L^\infty x \left(1-\Phi(x)\right) \, dx= \int_L^\infty x \left(1-\Phi(x)-s(x)\right) \, dx.$

¿Cuáles son los límites en las $G'-G$? Hay errores de cálculo en la anterior?

También tenemos $s(L)=s(\infty)=0, s(x)\leq 1-\Phi_1(x)$. Por Cauchy-Schwarz, también conseguimos $\left(\int s(x) \Phi (x)\right)^2 \leq \int s(x)^2 \int \Phi (x)^2$, pero no puedo ver donde esto puede ser útil.

Answer 1

No sé si eso ayuda particularmente a (ya que no se refieren directamente a los momentos de las distribuciones que se caracteriza por $F_1,F_2$, y se basa en las escuelas elementales cálculos), pero tal vez se promoverá la discusión. Vamos $f=\overline{F}_1$, $g=\overline{F}_2$ y $||f||^2=\int f^2(x)d x$ y asumir que $F_1,F_2$ tienen la misma media, $||f||,||g||<\infty$. A continuación, $G'-G\ge 0$ si y sólo si $$ 2\int (f^2-g^2)+\int(f-g)^2\ge 0. $$ Lo anterior demuestra inmediatamente que si $||f||>||g||$$G'-G\ge 0$. Suponga $||f||<||g||$ y denotan $z=||g||/||f|| >1$. Más transofmations dar otra utilidad(?) iff condición: $$ ||f|| ||g|| \left( \frac{3}{z}-z-2\frac{<f,g>}{||f||g||}\right)\ge 0. $$ El plazo $\frac{<f,g>}{||f||g||}$ es el "ángulo" o "correlación" entre el $f$ $g$ $L^2$ (que no debe confundirse con la correlación entre las variables aleatorias con pdf's $F_1$$F_2$), de ahí que toma valores en $[-1,1]$. Como resultado $G'-G<0$ si $z>3$, y si $z\in(1,3)$ a continuación, se puede ir de cualquier manera (dependiendo de la supuesta "correlación").