Problema de demostración: Demuestre que $n^2-1$ es divisible por $8$ , si $n$ es un número entero positivo impar.

Question

Demuestra que $n^2-1$ es divisible por $8$ , si $n$ es un número entero positivo impar. Por favor, ayúdame a demostrar si esta afirmación es verdadera o falsa.

Answer 1

Si $n$ es un entero positivo impar, entonces $n=2m+1$ para algún número entero no negativo $m$ . ¿Puedes ver cómo terminar? Pista- Haz dos casos , uno en el que $m$ es impar y uno donde $m$ está en paz.

Answer 2

Desde $n$ es impar $n=4m+1$ o $n=4m+3$ .

En el primer caso $n^2-1=(n-1)(n+1)=4m\cdot(4m+2)=8m(2m+1)$ mientras que en el segundo caso $n^2-1=(n-1)(n+1)=(4m+2)\cdot(4m+4)=8(2m+1)(m+1)$ .

Así que $n^2-1$ es divisible por 8 si $n$ es impar.

Answer 3

Visualización de los números enteros módulo 8 , escriba $a \equiv b$ para $8|(a-b)$ .

(Esta estructura, $\mathbb Z_8$ es generado por $8\equiv 0$ y es amigable con las operaciones $+$ y $\cdot$ .)

Tenemos el siguiente conjunto de números Impares: $\{ 1,3,5,7\}$ . O, reescribiendo por $5\equiv-3$ y $7\equiv -1$ Esto es sólo $$\{ 1,3,-3,-1\}$$ Las plazas de estos: $$(\pm 1)^2 = 1\ \text{ and }\ (\pm 3)^2=9\equiv 1$$

Answer 4

Este es un buen ejemplo de prueba directa. Se empieza con los hechos de que si $\phi$ es su entero impar positivo, entonces es de la forma $\phi = 2n + 1$ donde $n$ es un número entero y $\phi^2 - 1 = 8p \quad( p\in\mathbb Z) $ es cierto.

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Recordemos que si un número es divisible por 8, entonces el 8 es uno de sus factores.

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Esto es algo así como una prueba "caso por caso". Se demuestra la hipótesis para $n \in2\mathbb Z$ y luego $n \in 2\mathbb Z + 1$ .

Empecemos asumiendo que $n = 2m + 1$ donde $m$ es un número entero (por supuesto) para probar los números Impares. Está claro que, $$\begin{align} \phi^2 - 1 =(2n + 1)^2 - 1 &= 4n^2 + 4n \\ &= 4n(n + 1) \\ &= (8mn + 4n)(2m + 2) \\ &=4n\cdot 2\cdot(2m + 1)\cdot (m + 1) \\ & = 8 \cdot (n(2m + 1)(m +1)) \\ & = 8k \end{align} $$ $\rm 0.5\times Q.E.D $

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Ahora $n = 2m$ que va a ser más fácil. $$\begin{align}\phi^2 - 1 =(2n + 1)^2- 1 = 4n^2 + 4n &= 4n(n + 1) \\ &= 8mn(2m +1)\\&= 8(2m^2n + mn) \\ &=8k \end{align}$$

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Q.E.D

(yay)

Answer 5

Si $n$ es impar, entonces $n=8q+r$ con $r\in \{ 1,3,5,7 \}$ . Entonces $n^2=64q^2+16qr+r^2=8(8q^2+2r)+r^2$ . Por lo tanto, basta con demostrar que $r^2-1$ es divisible por $8$ que se puede hacer con un simple cálculo.