Análisis numérico: ¿Por qué esta función da tantos problemas a Sage / WolframAlpha para integrarla?

Question

Estoy tratando de encontrar el valor numérico de $$\int_{-\pi}^\pi \sin(2\cos\theta)\cos(4\theta)\,d\theta$$ .

El integrando parece una buena función continua que es finita, acotada, diferenciable, etc. Además, sólo busco un valor numérico, no la antiderivada exacta.

Sin embargo, al probar primero con WolframAlpha y Sage, ninguno es capaz de dar un valor numérico satisfactorio.

WolframAlpha se quedó sin tiempo de cálculo, y Sage dio una respuesta del orden de $10^{-17}$ con un error de orden $10^{-15}$ es decir, el error es mayor que la propia respuesta.

No soy un experto en análisis numérico, así que estoy desconcertado sobre por qué ha ocurrido esto.

Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias.

Bonificación: Si alguien puede decirme cuál es el valor numérico (con una precisión de 3 cifras significativas será suficiente), votaré hacia arriba y aceptaré su respuesta con gratitud.

Answer 1

El integrante $f(\theta):=\sin(2\cos\theta)\cos(4\theta)$ es una función par: $f(-\theta)=f(\theta)$ . Así que la integral de $f$ en el intervalo $[-\pi,\pi]$ es el doble de su valor sobre $[0,\pi]$ . Sin embargo, compruebe también que $$f\left(\frac\pi2+t\right)=-f\left(\frac\pi2-t\right),$$ es decir, el integrando tiene simetría impar alrededor del punto $(\pi/2,0)$ . Por lo tanto, la integral es igual a cero.

Answer 2

La gráfica de la función lo hace evidente: