La distancia entre un punto y un m-espacio tridimensional en el espacio n-dimensional ($m<n$)

Question

Estoy tratando de encontrar un método con un bajo coste computacional para el cálculo de la distancia de un punto a $P$ y un espacio de $S$ que es definido por el origen $O$ $m$ vectores $v_1, v_2, ..., v_m$ $n$- espacio dimensional ($m<n$). Los vectores no están restringidos por cualquier medio distinto de los que no son 0. Además, me gustaría identificar el punto en $S$ que es la más cercana a $P$.

Este cálculo se parte de un "ajuste de la función" para una máquina de problema de aprendizaje y por lo tanto tiene que ser ejecutado con más frecuencia y debe ser rápido. La entrada a la función es como se definió anteriormente, $P$$v_1, v_2, ..., v_m$. Esto es sólo para el contexto y estoy feliz por una solución matemática y, por supuesto, pueden hacer la aplicación a mí mismo.

Gracias de antemano y por favor, hágamelo saber si tengo que especificar nada en más detalle.

Answer 1

Creo que la manera más eficiente es calcular la proyección de $\mathrm{Pr}_L(p)$ de vector $p$ on lineal subespacio $L$ distribuidos por vectores $v_1,\ldots,v_m$, y la de encontrar la longitud del vector $p-\mathrm{Pr}_L(p)$. Utilizando modificado la ley Gramm-Schmidt orthogonalization proceso usted puede encontrar ortogonal base de $L$, se $\{e_1,\ldots,e_m\}$ y, a continuación, calcular $$ \mathrm{Pr}_L(p)=\sum\limits_{i=1}^m \langle p,e_i\rangle e_i $$ La distancia deseada es $$ d(p,L)=\left\Vert p-\sum\limits_{i=1}^m \langle p,e_i\rangle e_i\right\Vert $$

Hay un elegante pero inútil para sus propósitos fórmula de la distancia $d(p,L)$ desde el punto de $p\in\mathbb{R}^n$ lineal subespacio $L$ distribuidos por vectores $v_1,\ldots, v_m$. Se puede encontrar la fórmula $$ d^2(p,L)=\frac{G(v_1,\ldots,v_m,p)}{G(v_1,\ldots,v_m)}\etiqueta{1} $$ donde $$ G(v_1,\ldots,v_k)=\det \begin{Vmatrix} \langle v_1,v_1 \rangle & \ldots & \langle v_1,v_k \rangle\\ \ldots & \ldots & \ldots\\ \langle v_k,v_1 \rangle & \ldots & \langle v_k,v_k \rangle \end{Vmatrix} $$ es un Gramo determinante.

Answer 2

Voy a asumir que usted está hablando acerca de la distancia Euclídea y que todo lo que se da se da en términos de coordenadas Cartesianas en el $n$espacio tridimensional.

Deje $A$ ser la matriz cuyas columnas son sus vectores $V_i$, y deje $b$ ser el vector de coordenadas de $p$. Entonces lo que buscas es un vector $x$ $m$ coeficientes tales que $\|Ax-b\|\to\min$.

Existen varios métodos para encontrar esta $x$: usted puede

• resolver las ecuaciones normales;
• realizar una descomposición QR de Una, ya sea mediante Gram-Schmidt o padre de Familia reflexiones;
• uso el de Moore–Penrose pseudoinverse, determinado por la descomposición de valor singular.

Cual de estos es mejor puede depender de los requisitos para la velocidad y la precisión. Si sus vectores pueden ser linealmente dependiente, o casi, creo que la última opción es la más numéricamente estable, mientras que en caso contrario la solución de las ecuaciones normales debe ser lo suficientemente buena y probablemente la más rápida. La mejor forma de proceder también puede depender de si $A$ $b$ son diferentes en cada aplicación, o si usted necesita para encontrar $x$ muchas $b$ con el mismo $A$.