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La distancia entre un punto y un m-espacio tridimensional en el espacio n-dimensional (m<n)

Estoy tratando de encontrar un método con un bajo coste computacional para el cálculo de la distancia de un punto a P y un espacio de S que es definido por el origen O m vectores v1,v2,...,vm n- espacio dimensional (m<n). Los vectores no están restringidos por cualquier medio distinto de los que no son 0. Además, me gustaría identificar el punto en S que es la más cercana a P.

Este cálculo se parte de un "ajuste de la función" para una máquina de problema de aprendizaje y por lo tanto tiene que ser ejecutado con más frecuencia y debe ser rápido. La entrada a la función es como se definió anteriormente, Pv1,v2,...,vm. Esto es sólo para el contexto y estoy feliz por una solución matemática y, por supuesto, pueden hacer la aplicación a mí mismo.

Gracias de antemano y por favor, hágamelo saber si tengo que especificar nada en más detalle.

16voto

mona Puntos 38

Creo que la manera más eficiente es calcular la proyección de PrL(p) de vector p on lineal subespacio L distribuidos por vectores v1,,vm, y la de encontrar la longitud del vector pPrL(p). Utilizando modificado la ley Gramm-Schmidt orthogonalization proceso usted puede encontrar ortogonal base de L, se {e1,,em} y, a continuación, calcular PrL(p)=mi=1p,eiei La distancia deseada es d(p,L)=

Hay un elegante pero inútil para sus propósitos fórmula de la distancia d(p,L) desde el punto de p\in\mathbb{R}^n lineal subespacio L distribuidos por vectores v_1,\ldots, v_m. Se puede encontrar la fórmula d^2(p,L)=\frac{G(v_1,\ldots,v_m,p)}{G(v_1,\ldots,v_m)}\etiqueta{1} donde G(v_1,\ldots,v_k)=\det \begin{Vmatrix} \langle v_1,v_1 \rangle & \ldots & \langle v_1,v_k \rangle\\ \ldots & \ldots & \ldots\\ \langle v_k,v_1 \rangle & \ldots & \langle v_k,v_k \rangle \end{Vmatrix} es un Gramo determinante.

7voto

JiminyCricket Puntos 143

Voy a asumir que usted está hablando acerca de la distancia Euclídea y que todo lo que se da se da en términos de coordenadas Cartesianas en el nespacio tridimensional.

Deje A ser la matriz cuyas columnas son sus vectores V_i, y deje b ser el vector de coordenadas de p. Entonces lo que buscas es un vector x m coeficientes tales que \|Ax-b\|\to\min.

Existen varios métodos para encontrar esta x: usted puede

Cual de estos es mejor puede depender de los requisitos para la velocidad y la precisión. Si sus vectores pueden ser linealmente dependiente, o casi, creo que la última opción es la más numéricamente estable, mientras que en caso contrario la solución de las ecuaciones normales debe ser lo suficientemente buena y probablemente la más rápida. La mejor forma de proceder también puede depender de si A b son diferentes en cada aplicación, o si usted necesita para encontrar x muchas b con el mismo A.

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