Funciones entre espacios topológicos ser continua en un punto?

Question

Métrica determinada espacios de $B$$P$, en función de la $q: B \to P$ es continua en a $c \in B$ si para cada a $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que

$$d_B(x, c) < \delta \implies d_P(q(x), q(c)) < \epsilon$$

Pero si $B$ $P$ pasan a ser espacios topológicos, $q$ es continua si la preimagen de cada subconjunto abierto de $P$ está abierto en $B$. Así que en este caso, ¿qué significaría para $q$ ser continua en $c \in B$?

Answer 1

$q$ es continua en a $c\in B$ si y sólo si para cada vecindario $W$ $q(c)$ existe un entorno $U$ $c$ tal que $q(U)\subseteq W$. Usted puede reemplazar "barrio" con "conjunto abierto que contiene".

Si usted traducir lo que esto significa en el caso de la topología inducida por la métrica, usted encontrará que es exactamente la costumbre $\epsilon$-$\delta$ definición.