He escrito la pregunta primera, entonces la motivación detrás de ella y, por último, algunos antecedentes. Tenga en cuenta que la pregunta hace referencia a las definiciones y teoremas escrito en el fondo poco al final. La breve descripción de por qué estoy haciendo esta pregunta está ahí en caso de que alguien esté interesado/tiene algo que decir al respecto (por ejemplo, que voy mal en algún lugar).
Muchas gracias por adelantado.
Es posible modificar el Teorema 3 ejemplo de que la premisa de lee
"Supongamos que $E$ es un conjunto abierto en $\mathbb{R}^n$, $f$ mapas de $E$ en $\mathbb{R}^m$, $f$ es derivable en $x\in E$, $g$ mapas (1) con $f(E)$ en $\mathbb{R}^k$ y $g$ es (2) $f(x)$"
y la conclusión lee
"$F(x)=g(f(x))$ es derivable en $x$ y $F'(x)=(3)f'(x).$"
donde
- (1) = no-negativo orthant de $\mathbb{R}^n$, es decir $\{x\in\mathbb{R}^n:x_i\geq 0,\quad i=1,2,\dots,n\}$ (o algún tipo de conjunto que abarca la no-negativo orthant, por ejemplo, cerrado, convexo, etc.).
- (2) = a algún criterio análogo a diferenciable, pero que se pueden definir funciones que no están definidas en subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^n$ (véase la Definición 1).
- (3) = algo de la función evaluada en $f(x)$ análogos a los derivados $g'$ (véase la Definición 1) de $g$ evaluados en el punto $f(x)$.
Si es así,
- ¿Cuáles son (1), (2) y (3)?
- ¿Existe alguna teoremas análogo al Teorema 1 y 2, que nos proporcionan una manera fácil para la prueba de (2) y calcular (3)?
- De lo contrario, ¿cómo hace uno para (2) y calcula (3)?
- Alternativamente, si hay una razón por la que uno no puede hacer lo anterior, ¿qué es?
La motivación
Estoy buscando en el problema del valor inicial del tipo
$$\dot{x}=f(x),\quad\quad x(0)=x_0$$
donde $x_0$ es en el no-negativo orthant de $\mathbb{R}^n$, $\{x\in\mathbb{R}^n:x_i\geq 0,\quad i=1,2,\dots,n\}$ y $f$ mapas de la no-negativo orthant a $\mathbb{R}^n$. Estoy buscando a la anterior, porque estoy gustaría ser capaz de evaluar el tiempo de derivada de una función de Lyapunov $V$ , que sólo está definida en el no-negativo orthant mucho en la misma manera que uno normalmente hace, mediante el uso de la regla de la cadena:
$$\dot{V}(x(t))=\frac{\partial V}{\partial x}(x(t))\dot{x}(t).$$
De fondo
Si $x\in\mathbb{R}^n$, vamos $|x|$ denotar la norma euclídea en $\mathbb{R}^n$ evaluado en $x$.
Definición 1 (Diferenciable): Supongamos que $E$ es un conjunto abierto en $\mathbb{R}^n$, $f$ es una función que se asigna a $E$ en $\mathbb{R}^m$ y $x\in E$. Si existe una transformación lineal $Una$ de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^m$ que
$$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{|f(x+h)-f(x)-Ah|}{|h|}=0$$
entonces decimos que $f$ es derivable en $x$, y escribimos
$$f'(x)=A.$$
Si $f$ es derivable en todo $x\in E$ decimos que $f$ es derivable en $E$.
En el anterior, se supone implícitamente que $h\in\mathbb{R}^n$. Desde $E$ es abierto, si $|h|$ es lo suficientemente pequeño como $x+h\in E$, por lo tanto el límite anterior tiene sentido.
Si sabemos a priori que $f$ es derivable en un punto $$ x, entonces podemos usar el siguiente teorema de la mano a encontrar $f'(x)$.
Teorema 1: Supongamos que $f$ mapas de un conjunto abierto $E\subconjunto\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^m$ y $f$ es derivable en un punto $x\in E$. Entonces las derivadas parciales
$$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) := \lim_{t\rightarrow0}\frac{f_i(x+te_j)-f_i(x)}{t},$$
donde $e_j$ indica $j^{th}$ vector de la norma base de $\mathbb{R}^n$, existen. Además, la utilización de las bases estándar de $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{R}^m$,
$$f'(x)=\left[\frac{\partial f}{\partial x}(x)\right],$$
donde la RHS denota la matriz de cuyo $i,j$ de entrada está dada por la derivada parcial se definió anteriormente.
Sin embargo, para ser capaz de utilizar la anterior, primero tenemos que ser capaces de concluir que $f$ es derivable. Si $f$ es continuamente diferenciable también podemos utilizar las derivadas parciales para este fin.
Definición 2 (Continuamente diferenciable): decimos que una función derivable $f$ que los mapas a partir de un subconjunto abierto $E\subconjunto \mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^m$ es continuamente diferenciable si $f$ es continua asignación de $E$ en el conjunto de funciones lineales que mapa de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^m$, $L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m)$ (por ejemplo, la definición de continuidad con algunos inducida por la norma de la matriz para definir una métrica en $L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m))$.
Teorema 2: Suponga que $f$ mapas de un conjunto abierto $E\subconjunto \mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^m$. Si $f$ es continuamente diferenciable si y sólo si todas las derivadas parciales de $f$ existen y son continuas en $E$.
Un resultado final, la regla de la cadena:
Teorema 3: Supongamos que $E$ es un conjunto abierto en $\mathbb{R}^n$, $f$ mapas de $E$ en $\mathbb{R}^m$, $f$ es derivable en $x\in E$, $g$ mapas de un conjunto abierto que contiene $f(E)$ en $\mathbb{R}^k$ y $g$ es derivable en $f(x)$. A continuación, la asignación de $E$ en $\mathbb{R}^k$ definida por
$$F(x)=g(f(x))$$
es derivable en $x$ y
$$F'(x)=g'(f(x))f'(x).$$
