(infinity,1)-categorías directamente desde el modelo de categorías

Question

Edición y Nota: estoy declarando un convenio de aquí porque no me siento como tratar de solucionar este problema en un montón de puntos: Si he dicho modelo de categoría y no tiene sentido, me refería a un modelo de la categoría de "modelo" de un (infinity,1)-categoría. También, "modelo" entre comillas significa la palabra en inglés del modelo, mientras que sin cita tiene que hacer con categorías de modelo.

En el comienzo de Lurie mayor topos teoría, él menciona que no hay una teoría de la $(\infty,1)$-categorías que pueden ser directamente construye mediante el uso de categorías de modelo.

Lo que me gustaría saber es:

Donde puedo encontrar los papeles relacionados (Lurie menciona dos libros que no están disponibles para su descarga)?

Cómo depende de quasicategories es la teoría desarrollada en HTT? Pueden los importantes resultados que ser probada para estos $(\infty,1)$-modelo-categorías demostrando algún tipo de equivalencia (no equivalencia de categorías, pero algunos de los más débiles de la clase de equivalencia) a la teoría de la quasicategories?

Cuando queremos utilizar quasicategories en lugar de estos más abstracto categorías de modelo?

Y también, por el contrario, cuando queremos mirar el modelo de categorías en lugar de quasicategories?

Hace un subsumir el otro? Hay desventajas a la categoría de modelos de construcción sólo porque se requiere que usted tenga toda la maquinaria de categorías de modelo? Son quasicategories mejor en todos los sentidos?

El único "modelos" de infinity categorías en las que estoy familiarizado con los presentados en HTT.

Answer 1

Usted no puede producir todos los ($\infty$,1)-categoría a partir de un modelo de la categoría. La consigna es que cada presentable ($\infty$,1)-categoría proviene de un modelo de la categoría, y todos los adjuntos par entre tales viene de una Quillen par de functors entre categorías de modelo. El papel por Dugger en modelo Universal de las categorías de las obras de este formalismo desde el punto de vista de categorías de modelo. (Un documento complementario que muestra que una gran clase de categorías de modelo (combinatoria) "presentable" en este sentido).

(Me dicen que es un eslogan, pero estoy seguro de que es un teorema; simplemente no tengo una referencia para usted.)

Presentable ($\infty$,1)-las categorías son especiales entre todos ($\infty$,1)-categorías; en particular, son completos y cocomplete.

Por ejemplo, puede definir la noción de ($\infty$,1)-topos en términos de categorías de modelo, ya que ($\infty$,1)-topoi son presentable, y morfismos entre dichos son ciertos tipos de adjuntos functor pares.

Answer 2

Es posible que desee echar un vistazo a las respuestas a Cómo pensar acerca del modelo de categorías?

Incluso si sólo se preocupaba por presentable (∞,1)-categorías, es posible que aún prefieren el general (∞,1) categoría maquinaria de categorías de modelo, aunque sólo sea para hablar de la (∞,1)-categoría de todos los presentable (∞,1)-categorías. No sé de ningún "modelo 2-categoría de categorías de modelo (aunque uno puede ver las huellas de lo que debe ser en la obra de Dugger).

Sin embargo, el modelo de categorías tienen ciertas ventajas. Hay algunos modelos de categorías derivadas de álgebra para que yo no conozco ninguna alternativa descripción de los asociados (∞,1)-categoría, tales como el modelo de la categoría de los complejos de la cadena de comodules más de un álgebra de Hopf. Incluso cuando este no es el caso, el modelo de categorías son a menudo más conveniente para el cálculo. Por ejemplo, puedo escribir una (∞,1)-descripción categórica de algún grupo cohomology, pero para calcular que probablemente voy a escribir una resolución de algo, que es la receta que viene de categorías de modelo.

Answer 3

Aquí es un extenso comentario acerca de Charles respuesta, incluyendo algunos de los más referencias.

En este papel, el Teorema de 2.5.9, se muestra que todos los modelos de la categoría (no necesariamente una combinatoria) tiene todos los límites y colimits. Sin embargo, no es difícil encontrar ejemplos de categorías de modelo cuyo subyacente $\infty$-categorías no son ni buenas ni co-presentable. Por ejemplo, Isaksen la estricta estructura del modelo de pro-simplicial conjuntos. Se muestra en el documento mencionado anteriormente que el subyacente $\infty$-categoría de este modelo de la categoría es la categoría pro de espacios considerados en Lurie "Superior" Topos "Teoría" de la Definición 7.1.6.1. La categoría pro de una gran cocomplete y finitely completa $\infty$-categoría es completa y cocomplete pero ni presentable ni copresentable.

En este papel, la Proposición 1.5.1, se muestra que cualquier Quillen par entre categorías de modelo (no necesariamente combinatoria) da lugar a un medico adjunto par de $\infty$-categorías.

Parece plausible que la (subyacente $\infty$-categoría de la) respecto a la categoría de modelo de categorías de izquierda y de Quillen functors entre ellos, con la debilidad de equivalencias para ser llevado a la Quillen equivalencias es equivalente a la $\infty$-categoría de completar y cocomplete $\infty$-categorías y a la izquierda adjoints entre ellos. La restricción a la combinatoria categorías de modelo correspondería a la restricción para presentable $\infty$-categorías en la imagen. La última afirmación es, probablemente, ya ha sido demostrada, mientras que yo estoy bastante seguro de que el primero no.

Answer 4

Hay un seguimiento en el artículo, primero en el 5-artículo de la serie Derivada de la Geometría Algebraica:

• Estable Infinito Categorías, arXiv:matemáticas/0608228

En particular,

La teoría de la estabilidad ∞-categorías no es realmente nueva: la mayoría de los resultados que se presentan aquí son bien conocidos para los expertos. Existe una considerable literatura sobre el tema en el ajuste del modelo estable categorías (ver, por ejemplo, [27]). La teoría de la estabilidad de categorías de modelo es esencialmente equivalente a la noción de una presentable estable ∞-categoría, de los que hablaremos en el §15.

Answer 5

Hay cuatro modelos diferentes para $(\infty,1)$-categorías: simplicial categorías, Segal categorías, completa Segal espacios y quasicategories. Una encuesta de estas y sus equivalencias es proporcionada por Julia Bergner de Una encuesta de $(\infty, 1)$-categorías.