Límites en $\sum_{k=0}^{m} \binom{n}{k}x^k$ $\sum_{k=0}^{m} \binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}, m<n$

Question

He leído este interesante artículo de Woersch (1994), relativo a la aproximación de los coeficientes binomiales (filas del triángulo de Pascal). Me pregunto si similar límites existen para el parcial binomio sumas tales como (por $ m < n $)

$$\sum_{k=0}^{m} \binom{n}{k}x^k$$ and $$\sum_{k=0}^{m} \binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}.$$

Si $0<x<1$ el segundo caso se puede aproximar con la distribución normal utilizando el teorema del límite central. Si alguien pudiera sugerir algunas enfoque general para la resolución de problemas como estos, estaría muy agradecido.

Answer 1

Como se señaló en los comentarios, si usted puede resolver un problema se puede resolver el otro, así que sólo voy a dar un enlace para la primera suma. También, $x > 0$. (Parece que el caso de $x<0$ podría ser más difícil.) Tenemos

$\begin{align} &\frac{\binom{n}{m}x^m + \binom{n}{m-1}x^{m-1} + \cdots + \binom{n}{0}x^0}{\binom{n}{m}x^m} \\ &= 1 + \frac{m}{(n-m+1)x} + \frac{m(m-1)}{(n-m+1)(n-m+2)x^2} + \cdots + \frac{m!}{n^{\underline{m}}!x^m} \\ &\leq 1 + \frac{m}{(n-m+1)x} + \left(\frac{m}{(n-m+1)x}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{m}{(n-m+1)x}\right)^m, \end{align}$

que es la suma parcial de una serie geométrica. Por lo tanto,

$$\sum_{k=0}^m \binom{n}{k} x^k \leq \binom{n}{m} x^m \frac{1 - r^{m+1}}{1-r},$$ donde $$r = \frac{m}{(n-m+1)x}.$$

Por supuesto, si $r < 1$, entonces podemos obtener la expresión más sencilla $$\sum_{k=0}^m \binom{n}{k} x^k \leq \binom{n}{m} x^{m+1} \frac{n-m+1}{(n-m+1)x-m}.$$

(Dar crédito donde el crédito es debido, esto es una adaptación de Michael Lugo respuesta a una pregunta relacionada con las Matemáticas de Desbordamiento.)