Son la prueba t y ANOVA de una vía, tanto Wald pruebas?

Question

t-test para probar si la media de una distribución normal de la muestra es igual a una constante, se dice de un test Wald, mediante la estimación de la desviación estándar de la media de la muestra por el pescador de la información de la distribución normal, en la media de la muestra. Pero la estadística de prueba en la prueba de la t tiene una distribución t de student, mientras que la prueba de staistic en un test Wald asintóticamente tiene una distribución de la chi cuadrado. Me pregunto ¿cómo explicar que?

En el ANOVA de una vía, el estadístico de prueba se define como la relación entre la clase y la varianza dentro de la clase de la varianza. Me preguntaba si también es un test Wald? Pero la prueba estadística de ANOVA de una vía tiene una distribución F, y el estadístico de prueba en un test Wald asintóticamente tiene una distribución de la chi cuadrado. Me pregunto ¿cómo explicar que?

Gracias y saludos!

Answer 1

Considere el siguiente programa de instalación. Tenemos una $p$-dimensiones vector de parámetros $\theta$ que especifica el modelo completo y el de máxima probabilidad del estimador $\hat{\theta}$. El Pescador de la información en $\theta$ es denotado $I(\theta)$. Lo que usualmente se conoce como el de la estadística de Wald es

$$(\hat{\theta} - \theta)^T I(\hat{\theta}) (\hat{\theta} - \theta)$$

donde $I(\hat{\theta})$ es el Pescador de la información evaluada en el de máxima probabilidad del estimador. En virtud de la regularidad de las condiciones de la Wald estadística de la siguiente manera asintóticamente una $\chi^2$-distribución con $p$-grados de libertad al $\theta$ es el verdadero parámetro. El Wald estadística puede ser utilizado para probar una hipótesis simple $H_0 : \theta = \theta_0$ sobre la totalidad del vector de parámetros.

Con $\Sigma(\theta) = I(\theta)^{-1}$ la inversa de Fisher información de la Wald prueba estadística de la hipótesis de $H_0 : \theta_1 = \theta_{0,1}$ es $$\frac{(\hat{\theta}_1 - \theta_{0,1})^2}{\Sigma(\hat{\theta})_{ii}}.$$ Su distribución asintótica es una $\chi^2$-distribución con 1 grados de libertad.

Para el modelo normal, donde $\theta = (\mu, \sigma^2)$ es el vector de la media y la varianza de los parámetros, la prueba de Wald de la estadística de prueba si $\mu = \mu_0$ es $$\frac{n(\hat{\mu} - \mu_0)^2}{\hat{\sigma}^2}$$ con $n$ el tamaño de la muestra. Aquí $\hat{\sigma}^2$ es el de máxima verosimilitud estimador de $\sigma^2$ (donde se divide por $n$). El $t$-estadístico de prueba es $$\frac{n(\hat{\mu} - \mu_0)}{s}$$ donde $s^2$ es el imparcial estimador de la varianza (donde se divide por el $n-1$). La prueba estadística de Wald es casi, pero no exactamente igual al cuadrado de la $t$-estadístico de prueba, pero son asintóticamente equivalentes al $n \to \infty$. El cuadrado de $t$-prueba estadística tiene un exacto $F(1, n-1)$-distribución, que converge a la $\chi^2$-distribución con 1 grados de libertad para $n \to \infty$.

La misma historia se sostiene sobre la $F$-prueba de ANOVA de una vía.

Answer 2

@NRH dio una buena respuesta teórica, aquí hay uno que tiene la intención de ser más sencillo, más intuitivo.

No es la formal test Wald (que se describe en la respuesta por NRH), pero también nos referimos a las pruebas que mira la diferencia entre un parámetro estimado y su hipótesis de valor en relación a la variación estimada en el parámetro estimado como un Wald estilo de la prueba. Así que la prueba de t, como se le suele utilizar es un Wald Estilo a prueba incluso si es ligeramente diferente de la exacta test Wald (a diferencia de $n$ vs $n-1$ dentro de una raíz cuadrada). Incluso podríamos diseñar un Wald estilo de la prueba según una estimación de la mediana de menos la hipótesis de la mediana divide por una función de la IQR, pero no sé lo que la distribución se iba a seguir, sería mejor usar un bootstrap, permutación, o simulación de la distribución de esta prueba en lugar de depender de la chi-cuadrado asymptotics. La prueba F de ANOVA se ajusta al patrón general así, el numerador puede ser pensado como una medida de la diferencia de los medios a partir de una media global y el denominador es una medida de la variación.

También tenga en cuenta que si usted Cuadrado de una variable aleatoria que sigue una distribución t, a continuación, le sigue una distribución F con 1 df del numerador y del denominador df serán los de la t de distribución. También tenga en cuenta que una distribución F con infinito denominador df es un chi-cuadrado de distribución. Lo que significa que tanto el t-estadístico (al cuadrado) y la estadística F son asintóticamente chi-cuadrado como el de la estadística de Wald. Sólo tiene que utilizar la más exacta de la distribución en la práctica.