Factores del mapa de Hurewicz a través de la homología del bordismo

Question

He leído en múltiples fuentes que el mapa de Hurewicz $h \colon \pi_n(X) \to H_n(X)$ factores a través de la homología de bordismo orientado. Estoy particularmente interesado en la inyectabilidad del mapa $h \colon \pi_n(X) \to MO_*(X)$ . ¿Esto sólo se da si X es $(n-1)$ -¿conectado? ¿Puede dar una fuente donde se demuestre esto?

Saludos cordiales Thorben

Answer 1

He demostrado la inyectividad del mapa de Hurewicz $h \colon \pi_n(x) \to MO_*(X)$ donde $X$ está (n-1)-conectado para $n \geq 2$ .

Dejemos que $f$ esté en el núcleo del mapa de Hurewicz, es decir, que exista una variedad $W$ junto con un mapa de $W$ a $X$ tal que $\partial W=S^n$ y tal que $g|_{\partial W}=f$ .

Un simple argumento sobre la teoría de la homotopía nos muestra que podemos homotopar $g$ sea constante en cada asa de grado $k$ si $k \leq n-1$ . Entonces, ¿qué pasa con el $(n-1)$ -manijas. Sea $W'$ denotan $W$ sin $n$ -manillas y $(n+1)$ -manillas y $\Phi \colon S^{n-1}\times D^1 \to \partial W'$ denotan una incrustación, que caracteriza la primera $n$ -handle (Si no hay $n$ -podemos omitir esta parte). Fijar un punto $p$ en $S^{n-1}$ . Consideremos primero el caso en el que un camino $\gamma \colon [0,1] \to \partial W' - S^{n-1} \times (0,1)$ existe tal que $\gamma (0) = (p,0)$ y $\gamma (1) = (p,1)$ y tal que $\gamma$ junto con el arco incrustado $\{p\} \times [0,1]$ forma una incrustación $S^1$ . Obsérvese que sólo hay que comprobar la primera parte y que la segunda puede disponerse para cada uno de esos caminos. Dado que $W$ es orientable este incrustado $S^1$ tiene una incrustación de su vecindad tubular trivial $\Psi \colon S^1 \times D^{n-1} \to \partial W'$ . Tenga en cuenta que $\partial (W' +(\Phi^n))$ es isomorfo a la frontera de $\partial (W + (\gamma))$ . Esto se puede ver ya que desde el punto de vista de la frontera $S^{n-1} \times D^1$ es sólo un $1$ -y qué pasa si pegamos $\Phi$ ? Lo borramos y pegamos dos discos para rellenar los huecos. Pero ahora nuestro $\Psi$ cumple las condiciones del lema de cancelación para borrar este $1$ -y por lo tanto concluimos que $\partial(W+(\Phi))$ y $\partial(W'+(\Psi)$ son realmente isomorfas. Nótese que $W'+ (\Phi^n)$ y $W' + (\Psi^2)$ no son isomorfas. Dado que $X$ está al menos simplemente conectado podemos hacer $g$ constante en $\Psi$ y concluimos que en realidad podemos extender $g$ en $W' + (\Psi^2)$ . Por lo tanto, concluimos que podemos elegir $W$ sin pérdida de generalidad para no tener tales asas.

Dejemos ahora $\tilde{W}$ denotan $W$ sin $(n+1)$ -manillas y la última $n$ -manejo $(\Phi^n)$ . Desde $\partial \tilde{W} - S^{n-1} \times (0,1)$ no está conectada por un camino, obtenemos que $\partial \tilde{W} + (\Phi^{n+1})$ no está conectado. Pero ahora conseguimos que desde $\partial W$ está conectado, que en al menos uno de estos dos componentes tiene que estar pegado en un disco $D^{n+1}$ . Sea $\Psi$ denota la primera incrustación tal que $\partial (\Phi^n) \cap \mathrm{Im}(\Psi^{n+1}) \neq \emptyset$ . Pero ahora desde $S^n$ es compacto y de dimensión $n$ obtenemos que la incrustación en $\partial \tilde{W} + (\Phi^{n+1})$ es un difeomorfismo sobre un componente conexo de $\partial \tilde{W} +(\Phi^{n+1})$ . El lema de cancelación nos dice ahora que $\Phi^n$ y $\Psi^{n+1}$ se anulan entre sí.

Por lo tanto, concluimos que podemos homotopar $g$ tal que es constante en $W$ sin el $(n+1)$ -pero como el $(n+1)$ -sólo llenan partes de la frontera, llegamos a la conclusión de que nuestro mapa puede ser homotópico para ser constante en la frontera de $W$ . Por lo tanto, $h$ es inyectiva.