Una última pregunta sobre el concepto de límites

Question

He leído este post sobre la noción de límites Se acerca a cero, pero no es igual a cero, entonces ¿por qué se superponen los puntos? Pero hay una última pregunta que tengo. [¡Confía en mí, será mi última pregunta sobre los límites!] Dice claramente que a medida que te acercas más y más a un punto determinado te estás acercando al punto límite. Es decir, que a medida que $\Delta x$ enfoques $0$ llegas al límite.

Permítanme darles un ejemplo que apoya la afirmación anterior. Supongamos que se quiere evaluar el límite $$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x-2} .$$ Tarde o temprano, hay que enchufar $2$ y se obtiene la respuesta $4$ y dices que el límite de esa función como $x \to 2$ es $4$ . Pero, ¿por qué tengo que enchufar $2$ y no un número cerca de $2$ ? $x$ no es ciertamente igual a $2$ ¿verdad?

Answer 1

No estoy de acuerdo en que "hay que enchufar $2$ ". Lo que realmente sucede es que estás dividiendo el problema en límites más simples que se pueden hacer como si "enchufando". Estas son algunas de las ideas que se están llevando a cabo "entre bastidores":

Teorema 1. Dejemos que $f$ y $g$ sean funciones definidas en un intervalo abierto $I$ que contiene $a$ . Si $f(x)=g(x)$ para todos $x\in I$ , excepto quizás en $x=a$ entonces $$\lim_{x\to a}\;f(x) = \lim_{x\to a}\;g(x),$$ en el sentido de que o bien existen ambos y son iguales, o bien no existe ninguno.

La idea es que el límite de una función depende sólo sobre lo que ocurre cerca de el punto, no en en el punto. Si conoces la definición de un límite utilizando $\epsilon$ s y $\delta$ s, esto es más o menos inmediato, ya que siempre excluimos el caso $x=a$ explícitamente en esa definición.

Teorema 2. Algunos límites fáciles:

1. $\displaystyle \lim_{x\to a}\; k = k$ , donde $k$ es una constante.
2. $\displaystyle \lim_{x\to a}\; x = a$ .

Tenga en cuenta que no estamos "realmente" enchufando $a$ en estos dos límites; se trata de límites que pueden calcularse utilizando el definición de límite.

Teorema 3. Descomponer los límites complicados en otros más simples: si $f$ y $g$ son funciones, y $\lim\limits_{x\to a}\;f(x) = L$ y $\lim\limits_{x\to a}\;g(x)=M$ entonces:

1. $\lim\limits_{x\to a}\Bigl(f(x)+g(x)\Bigr) = L+M$ .
2. $\lim\limits_{x\to a}\Bigl(f(x)-g(x)\Bigr) = L-M$ .
3. $\lim\limits_{x\to a}\Bigl(\alpha f(x)\Bigr) = \alpha L$ para cualquier constante $\alpha$ .
4. $\lim\limits_{x\to a}\Bigl(f(x)g(x)\Bigr) = LM$ .
5. Si $M\neq 0$ entonces $\displaystyle \lim\limits_{x\to a}\;\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$ .

Estas son las cosas que se utilizan para determinar $$\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}.$$ Dejemos que $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ y $g(x) = x+2$ . Entonces $f(x)$ y $g(x)$ son funciones diferentes ( $g(x)$ se define en todas partes, pero $f(x)$ sólo se define en $(-\infty,2)\cup(2,\infty)$ ), pero en cualquier $x\neq 2$ , $f$ y $g$ tienen el mismo valor. Esto significa que, por el Teorema 1, debemos tener $$\lim_{x\to 2}\;f(x) = \lim_{x\to 2}\;g(x).$$

Ahora, $\lim\limits_{x\to 2}\;g(x) = \lim\limits_{x\to 2}\bigl( x + 2\bigr)$ . Por el Teorema 3, parte 1, sabemos que $$\lim_{x\to 2}\;g(x) =\lim\limits_{x\to 2}\bigl(x + 2\bigr) = \left(\lim_{x\to 2}\; x\right) + \left(\lim_{x\to 2}\; 2\right),$$ siempre que existan los dos límites de la derecha. Por el Teorema 2 anterior, sabemos que $\lim\limits_{x\to 2} \;x = 2$ y $\lim\limits_{x\to 2}\;2 = 2$ . Así que: $$\lim_{x\to 2}\;f(x) = \lim_{x\to 2}\;g(x) = \left(\lim_{x\to 2}\;x\right) + \left(\lim_{x\to 2}\;2\right) = 2 + 2= 4.$$ Cada igualdad se justifica con un teorema. En ninguna parte estamos "enchufando", ni $2$ ni números cercanos a $2$ ; estamos evaluando los límites utilizando la definición y algunos resultados que nos permiten algunos atajos.

¿Dónde está la idea de "enchufar"? Porque hay una clase de funciones para las que los límites pueden esencialmente se calculan "enchufando". Estos son los continuo funciones.

Definición. Dejemos que $f(x)$ sea una función, y que $a$ sea un número. Entonces $f(x)$ es continua en $a$ si y sólo si ocurren tres cosas:

1. $f$ se define en $a$ ;
2. $\lim\limits_{x\to a}\;f(x)$ existe; y
3. $\lim\limits_{x\to a}\;f(x) = f(a)$ .

Si $I$ es un intervalo, decimos $f$ es "continua en $I$ "si es continua en cada $a\in I$ ; decimos que $f$ es "continua" si es continua en cada punto de su dominio; decimos $f$ es "continua en todas partes" si es continua en $a$ para cada número real $a$ .

Así pues, las funciones que son continuas en todas partes son precisamente las funciones cuyos límites se pueden calcular simplemente "enchufando" (evaluando), gracias a la parte 3 de la definición. Entre las funciones continuas en todas partes están las constantes y los polinomios (como $g(x) = x+2$ arriba). Sin embargo, para probar que tales funciones son continuas y que se pueden evaluar sus límites simplemente enchufando, hay que utilice las propiedades de los límites mencionadas anteriormente, que por tanto no pueden establecerse simplemente "enchufando" (eso haría que el argumento fuera circular).

Answer 2

Para encontrar un límite, no nos importa lo que realmente sucede en $x = 2$ . Sólo nos importa lo que el $y$ -valores de la función están haciendo como obtenemos cerrar a $2$ . En otras palabras, una forma de pensar en la cantidad $$ \lim_{x \to a} f(x) $$ es la siguiente: ¿Cómo se $y$ -valores de la función $f(x)$ se comportan cuando $x$ se acerca a $a$ ? Si el $y$ -valores se acercan a uno en particular $y$ -valor (llámalo $L$ ), entonces decimos $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$ .

En su ejemplo particular, la función $\frac{x^2-4}{x-2}$ parece que la línea $x+2$ excepto que tiene un agujero:

En otras palabras, tenemos que $\frac{x^2 - 4}{x-2} = x+2$ , excepto cuando $x = 2$ . El hecho de que las funciones no sean iguales en todas partes no nos molesta, ya que sólo nos preocupa la $y$ -valor de la función cuando $x$ es cerca de $2$ . Por lo tanto, al calcular los límites (y sólo al calcular los límites), podemos pensar en $\frac{x^2 - 4}{x-2}$ y $x+2$ como el mismo. Ahora, es fácil ver que el $y$ -Los valores de la función se acercan arbitrariamente a $4$ cuando $x$ se acerca a $2$ y, por lo tanto, podemos escribir

$$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4. $$

Answer 3

Esta es una aplicación del Teorema del Apretón. Una versión del teorema dice que si $f(x)=g(x)$ para todos $x\neq a$ entonces $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)$ siempre que $\lim_{x\to a}g(x)$ existe. Por lo tanto, para todos $x\neq 2$ tenemos

$$ \frac{x^2-4}{x-2}=x+2. $$

Así,

$$ \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x+2)=4. $$

Realmente estás introduciendo 2 en la función $x+2$ y utilizando el Teorema del Apretón.

Answer 4

Un punto importante a tener en cuenta es que no se puede "enchufar" realmente $2$ y obtener $4$ .

Cuando $x = 2$ se tendrá una división por cero, ya que $x - 2 = 0$ .

Al calcular $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ para $x = 2$ utilizando un ordenador, puede obtener $4$ debido a errores de redondeo cuando se ha establecido $x$ a un valor muy cercano a 2. Esto se debe al hecho mismo de que la función se acerca a $4$ como $x$ se acerca a $2$ .