Diferenciación bajo signo integral -- contraejemplo de trigonometría

Question

Realmente odio la integración por partes, así que cuando me enfrento a $\int_{-\pi}^\pi x^2 \cos n x \, dx$ He intentado escribirlo como $$int_{-\pi}^pi x^2 \cos n x \\, dx =
\frac {d}{dn} \int_ {- \pi }^ \pi x \sin n x \N, dx = \frac {d^2}{dn^2} \int_ {- \pi }^ \pi \cos n x \N, dx $$1

He hecho algo mal. El integrando es continuamente diferenciable con respecto a n y pensé que eso era suficiente. ¿Cómo puedo conseguir que la diferenciación bajo el signo de la integral funcione?

Answer 1

Bueno, si hay casos en los que no se puede evitar la integración por partes, entonces utilice la siguiente fórmula:

• Si $u$ y $v$ son funciones de $x$ y los guiones denotan diferenciación y los sufijos integración con respecto a $x$ entonces $$\small\int uv \ dx = uv_{1} -u'v_{2}+ u''v_{3} - u'''v_{4} + \cdots + (-1)^{n-1}u^{(n-1)}v_{n} + (-1)^{n} \int u^{(n)}\cdot v_{n} \ dx$$

Answer 2

Sí ha funcionado (salvo que te falta el signo negativo). Recuerda $n$ no es siempre un número entero, por lo que $$-\int_{-\pi}^\pi \cos(nx)dx=-\frac{2\sin(\pi n)}{n}.$$

Entonces $$\frac{d^2}{dn^2} \left(-\int_{-\pi}^\pi \cos(nx)dx\right) =\frac{d}{dn} \left( -\frac{2\pi\cos (\pi n)}{n}+\frac{2\sin(\pi n)}{n^2}\right)$$

$$=\frac{2\pi^2\sin(\pi n)}{n}-\frac{4\sin(\pi n)}{n^3}+\frac{4\pi\cos(\pi n)}{n^2}.$$

Answer 3

Diferenciar bajo el signo integral está bien aquí, pero para estas situaciones ("un polinomio por una función trigonométrica") prefiero usar este método. La idea básica es que se sabe de antemano cómo afectará la integración por partes al signo de cada integral consecutiva, por lo que una contabilidad inteligente evita tener que usar excesivos paréntesis y cometer errores.