Si $H$ $K$ son conjugado en $G$, son conjugado en

Question

Supongamos $G$ es un grupo, con $H$ a un subgrupo. Supongamos que $K$ $L$ son subgrupos en $H$ que está conjugado en el $G$, por lo que tenemos un elemento $g\in G$$gKg^{-1}=L$. De lo anterior se sigue que el $K$ $L$ son conjugado en $N_G(H)$?

Desde $G=N_G(H)$ si $H$ es normal, el resultado tiene para el normal $H$. Si el resultado no es cierto en general, hay menos estrictas condiciones (además de la normalidad de $H$) para colocar en $(G,H,K,L)$, de modo que es cierto?

Answer 1

En términos técnicos se están preguntando si "$H$ controles de su propia fusión". Si $H$ es un abelian Sylow $p$-subgrupo, o más generalmente, si $K,L$ son normales subgrupos de Sylow $p$-subgrupo $H$, entonces la respuesta es sí (Burnside la fusión teorema).

En general, no. Considere la posibilidad de $K=\langle(1,2)(3,4)\rangle$, $L=\langle(1,3)(2,4)\rangle$, $H=\langle(1,2), (3,4), (1,3)(2,4) \rangle$, $G=\langle (1,2), (1,2,3,4) \rangle = S_4$.

$K$ $L$ son conjugado en $N_G(\langle K,L\rangle) = N_G(K_4) = S_4$, pero no en $N_G(H) = H = D_8$.

Subgrupos de la forma $N_G(P)$ $P \leq H$ ($H$ un Sylow $p$-subgrupo) se denominan $p$-local. $p$-local subgrupos de control de fusión (Alperin del teorema), pero que a veces se necesita más de uno de ellos.

Answer 2

No, esto no siga. Voy a dar un contra-ejemplo. Estoy seguro de contra-ejemplos existen en grupos finitos, pero mi contra-ejemplo utiliza infinito grupos (porque es muy fácil en este mundo).

Tome $G=F(a, b)$, el grupo libre en las cartas de $a$$b$, y tome $L=\langle a\rangle$$K=\langle b^{-1}ab\rangle$. Tome $H=\langle a, b^{-1}ab\rangle$. Vamos a demostrar que $b\not\in N_H(G)$, lo cual es suficiente (por qué?). A ver que $b\not\in N_H(G)$, supongamos lo contrario. A continuación,$b^{-2}ab^2\in H$. Sin embargo, cualquier libremente reducido palabra sobre $a$ $b^{-1}ab$ no puede contener una adecuada alimentación de $b$. Así que hemos terminado.

Creo que la condición que necesita es que si $\phi$ es un interior automorphism de $G$ al $\phi$ restringe a $N_G(H)$ que $\phi$ es la interior (que es sutilmente diferente de lo que Tobias escribió en los comentarios - tenga en cuenta que no todos los automorfismos de a $N_H(G)$ necesita ser inducida por un automorphism de $G$).