Algebraica de cierre de $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{F}_p$ sin Elección?

Question

Sé que la prueba usual de la existencia de una expresión algebraica de cierre para cualquier campo usando el Lema de Zorn. La respuesta a esta pregunta anterior deja en claro que, en general, algunos no constructiva axioma (no necesariamente la totalidad de CA) es necesario para garantizar algebraica de cierre. Mi pregunta es si podemos evitar de esta en los casos de $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{F}_p$.

Puede algebraicas cierres de $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{F}_p$ construirse en ZF?

Intuitivamente, parece plausible que puede. Hay dos lugares en los que veo en la necesidad de una AC-escribió axioma en la construcción de una expresión algebraica cierre: una de ellas es crear un poco de orden (es decir, bijection con $\mathbb{N}$) para el conjunto de los polinomios cuyas raíces necesito tocar; dos es controlar lo que ocurre cuando empiezo adyacentes raíces y los polinomios de inicio de la factorización en factores de menor tamaño. (Factor que hago primero?) A mí me parece que $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{F}_p$ ambos tienen una estructura que podría ser utilizado hábilmente para resolver ambos de estos puntos, sin recurrir a la CA. Sin embargo, no acabo de ver el camino con claridad.

Answer 1

Para cualquier finito o contable de campo $K$, usted puede bien-pedido de $K$, incluso sin CA y, a continuación, usted realmente no necesita ninguna otra elección para la construcción de un cierre.

Es decir, desde $K$ puede ser bien ordenado, puede bien el fin de todos los monic polinomios de más de $K$ y se adhieren a las raíces de la irreductible queridos uno por uno por inducción transfinita hasta $\omega_1$. Cada vez que se acuestan elementos, podemos bien el fin de los nuevos elementos y pegarlos en el final de el buen orden de los que ya tenemos. Si ordenamos los polinomios principalmente por "la máxima coeficiente" en lugar de por el grado, la nueva polinomios que a ser posible después de cada extensión siempre vienen después de los que ya sabemos.

En el momento en que llegue a $\omega_1$, no puede ser más polinomios que necesitan tener sus raíces contigua. Es decir, cada polinomio podemos forma en que punto se han tenido cada uno de sus coeficientes añadido en un tiempo cuando había sólo countably muchos de los polinomios en nuestra lista de polinomios a proceso, por lo que este polinomio se han procesado en algún paso antes de que $\omega_1$.

Editar para agregar: De hecho, como Zhen Lin señala, uno sólo tiene que lindan con las raíces de polinomios con coeficientes en $K$. Por $K=\mathbb Q$ que se muestra en esta pregunta, pero los argumentos no parecen de trabajo en general. Esto es bastante fácil de hacer para cualquier paquete de $K$, no sólo contables.

Answer 2

En realidad, según este FOM post, Wilfrid Hodges [1975, Läuchli del algebraica de cierre de $\mathbb{Q}$] demostró que la ZF es no suficiente para demostrar la existencia de un único algebraica de cierre de $\mathbb{Q}$, donde toma algebraica de cierre para decir que una algebraicamente cerrado campo que contiene (una isomorfo copia) de $\mathbb{Q}$ y no otros estrictamente menor algebraicamente cerrado subextension.

Por otro lado, en el mismo post, Stephen Simpson afirma que cada contables de campo $K$ admite un único (hasta que no es único isomorfismo) contables algebraica de cierre, en el sentido de una contables algebraicamente cerrado campo que contiene (una isomorfo copia de) $K$ cuyos elementos son todos los algebraicas (la copia) $K$.

Como lo que yo puedo decir, la construcción dada por Henning Mahkolm a continuación debe trabajar en la construcción de una clausura algebraica de $\mathbb{Q}$, y así debería de Arturo Magidin sugerencia (modulo demostrar que $\mathbb{C}$ tiene todas las raíces de todos los polinomios de más de $\mathbb{Q}$). Aquí es el hecho necesario para pasar de una a la otra:

La proposición. Deje que $L$ ser un campo de extensión de $K$. Si cada polinomio de más de $K$ divisiones de más de $L$, entonces existe un único subextension $\overline{K}$ tal que

1. $\overline{K}$ es un algebraicamente cerrado de campo.
2. $\overline{K}$ es mínima con respecto a esta propiedad.

Prueba. Deje que $\overline{K} = \{ x \in L : x \text{ es algebraico sobre } K \}$. Claramente, si podemos demostrar (1), (2) se sigue de la construcción: cualquier algebraicamente cerrado subextension de $L$ debe contener $\overline{K}$ como un subconjunto.

Por la dimensión de los argumentos – que creo que son permitidas ya que sólo necesita para trabajar con finito-dimensional espacios vectoriales más de $K$ – se puede demostrar que $\overline{K}$ es un subcampo $K$: el punto clave es que, si $K$ es una extensión finita de $K$ y $K"$ es una extensión finita de $K'$, entonces $K"$ es una extensión finita de $K$, y si $x$ es algebraico sobre $K'$ entonces $K'(x)$ es finito más de $K'$, entonces $x$ es algebraicas más de $K$ en sí.

Ahora, considere la posibilidad de un arbitrario polinomio $p$ sobre $\overline{K}$. Desde $p$ sólo tiene un número finito de coeficientes, de hecho, es un polinomio sobre algunos de subcampo $K'$, que es una extensión finita de $K$. Por lo que es suficiente para demostrar que, para cualquier finito subextension $K'$, cada polinomio $p$ más de $K'$ divisiones de más de $\overline{K}$. Pero $K$ es finito más de $K$, por lo que cada raíz de p $$ debe ser algebraicas más de $K$, y cada polinomio de más de $K$ divisiones de más de $\overline{K}$ por hipótesis, por lo que $p$ debe dividir más de $\overline{K}$ así, y por lo tanto, más de $\overline{K}$. Por lo que $\overline{K}$ es, de hecho, algebraicamente cerrado.

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A pesar de eso, algunas de las cosas que queremos algebraicas cierres puede ser hecho a mano en ausencia de elección. Por ejemplo:

Lema. Deje que $K$ ser un campo, y dejar que $K \hookrightarrow L$ y $K \hookrightarrow L'$ ser cualquiera de las dos extensiones finitas. Entonces, hay un número finito de extensión $K \hookrightarrow M$ que contiene isomorfo copias de $L$ y $L'$ como subextensions.

Prueba. Let A $= L \otimes_K L'$. Este es un finito-dimensional $K$-álgebra. Como tal, tiene un finito límite superior en longitudes de estrictamente ascendente de las cadenas de ideales, y por lo tanto contiene un ideal maximal $\mathfrak{m}$. (Nota: esto es mucho más fuerte que el habitual ascendente de la cadena de condición, y el ascendente de la cadena de condición no es suficiente para demostrar la existencia de máxima ideal! Ver [Hodges, 1973, Seis imposible anillos].) Es fácil comprobar que el campo $M = A / \mathfrak{m}$ tiene las propiedades deseadas.

Lema. Deje que $K$ ser un campo, y dejar que $p$ ser un polinomio de más de $K$. Luego, existe una extensión de $K \hookrightarrow L$ que se divide $p$.

Prueba. Por el lema anterior, si podemos hacer esto para polinomios irreducibles, entonces podemos hacer esto para todos los polinomios. Podemos suponer que $p$ es irreducible de grado de al menos 2. Observar que $K' = K[x] / (p)$ es un campo, y $p$ factores $K'$ en polinomios de estrictamente menor grado. El resultado de la siguiente manera por inducción sobre el grado de $p$.

Así que estamos contentos de trabajar únicamente con un número finito de polinomios en cualquier momento, las cosas deben estar bien...

Answer 3

Incluso si el axioma de elección no se sostiene en el mismo universo, muchos de sus usos pueden ser reemplazados, de facto, por el bien de pedidos (que permiten de manera efectiva la elección de los elementos). Esto permite mostrar la existencia de una mínima algebraicamente cerrado de campo, pero no es suficiente para mostrar su singularidad.

Mucho como Henning dijo, si un campo es contable (como los racionales, o finita campos), a continuación, podemos efectivamente orden de los polinomios, a continuación, vaya a través de la lista y añadir el de las raíces. En el caso general, esto realmente no funciona porque no tenemos manera de elegir un montón de polinomios de una sola vez. Como Zhen Lin señala en su respuesta, se ha demostrado que estos algebraica de cierre no necesitan ser únicos hasta el isomorfismo.

Permítanme una digresión por un momento (que va a ser la pena en un párrafo o dos) y hablar débil elección de los principios. Doy una división de tres tipos de la debilidad de la elección de los principios. Hay "opciones de principios familiares" (podemos elegir entre ciertas familias de conjuntos no vacíos) tipo de elección de los principios, como El Axioma de Contables de la Elección; hay topológico principios (como el de Ultrafilter lema y sus equivalentes); y hay otros extraño principios (Pequeñas Violaciones de la Elección, KWP, etc, etc.).

Estos a menudo son independientes el uno del otro, por ejemplo, la primera Cohen modelo muestra que la elección de determinadas familias no fuertemente (no podemos elegir de una contables de la familia de conjuntos infinitos), mientras que el ultrafilter lema sostiene.

Curiosamente, la existencia y unicidad de una expresión algebraica cierre de seguir a partir de la ultrafilter lema (equiv. Boolean primer ideal teorema; teorema de Compacidad; etc.) y no de bien las órdenes y la elección de principios. Así, mientras que puede usar bien los pedidos efectivamente elegir cómo agregar las raíces de los polinomios, podemos hacerlo en un "menos constructivas" modo mediante el uso de la ultrafilter lema lugar - incluso si el campo no puede ser bien ordenado. No se sabe (que yo sepa) si o no existencia implica la unicidad; o la ultrafilter lema. Es conocido que la singularidad no implica ninguno de ellos, aunque.

Answer 4

Creo que se puede generalizar un poco: cada paquete de campo $K$ tiene un bien disponible algebraica de cierre. (y cualquiera de los dos son isomorfos)

En primer lugar, elegir un buen orden $<$ en $K$. También, elegir un buen orden de los polinomios de más de $K$ (por ejemplo, una orden lexicographic). El $\alpha$-ésimo polinomio es de $f_\alpha$.

Uso de la recursión transfinita, construir una familia $L_\alpha$ algebraico de la extensión de los campos de $K$, y bien ordenamientos $<_\alpha$ en $L_\alpha$ tal que, para cualquier $\alpha < \beta$:

• $L_\alpha$ es un subcampo de $L_\beta$
• Si $x \in L_\alpha$ y $y \L_\beta \setminus L_\alpha$, entonces $x < y$.

El caso base será de $L_0 = K$ y $<_0 = <$. En cada uno de los $\alpha > 0$, realice los siguientes:

• $E = \cup_{\beta < \alpha} L_\beta$ es una extensión algebraica de $K$
• $<_E = \cup_{\beta < \alpha} <_\beta$ es un buen orden sobre $E$
• Construcción $L_\alpha$, una división de campo de $f_\alpha$ más de $E$
• Modificar $L_\alpha$, de modo que $L \subseteq L_\alpha$.
• Construir un buen orden $<_\alpha$ en $L_\alpha$ (por ejemplo, lexicográfica, como un finito-dimensional $E$-espacio vectorial)
• Modificar $<_\alpha$, de modo que $E$ es un segmento inicial de $L_\alpha$

Lo principal para realizar este trabajo, creo, es verificar que hacer la división de campo es constructiva (por ejemplo, tenga en cuenta que tenemos una elección canónica de la ordenación de los polinomios de más de $E$, y por lo tanto una forma canónica para elegir el factor de $f_\alpha$ cada vez que necesitamos para hacerlo.