¿Por qué importa la $(\infty, 1)$-categoría de espacios topológicos?

Question

Mientras que el aprendizaje acerca de homotopy en mi Topología Algebraica supuesto yo (como alguien que es menos consciente de mayor categoría de la teoría) se dio cuenta de que es posible definir una noción de "homotopy entre homotopies":

Deje $f,g:X\rightarrow Y$ ser continua mapas entre espacios topológicos y $H,K:f\simeq g$ dos homotopies de $f$ $g$es decir $H$ $K$ son continuos los mapas de $X\times I\rightarrow Y$ tales que $H(x,0) = > K(x,0)= f(x)$ and $H(x,1) = K(x,1) = g(x)$ for all $x\in X$.

Deje $\psi: X\times I\times I\rightarrow Y$ ser un mapa continuo, tales que para todos los $x\in X$ y $t\in I$, $\psi(x,t,0) = H(x,t)$ y $\psi(x,t,1) = K(x,t)$. A continuación, $\psi$ puede ser considerado como un homotopy $H\simeq K$ entre los dos homotopies.

Suponiendo que este se comporta bien con respecto a las composiciones y "morfismos de menor grado" (por ejemplo, el intercambio de la ley de transformaciones naturales, etc), tiene sentido considerar el $(\infty, 1)$categoría $\text{Top}$ cuyos objetos son los espacios topológicos, 1-morfismos son continuas mapas, 2-morfismos son homotopies entre continuo mapas, 3-morfismos son estos homotopies entre homotopies que acabo de definir, y así sucesivamente...

Le pregunté a mi profesor si la adición de estos extra "mayor homotopies" es útil para realizar la topología y si se da algún extra interesante información. Él dijo que él es y hace, pero explicar por qué es un poco complicado! Así que, ¿puede alguien intento de explicar por qué deberíamos preocuparnos de estas cosas razonablemente simplemente?

Answer 1

El $(\infty, 1)$-categoría a la que realmente importa es el $(\infty, 1)$-categoría de (débil) homotopy tipos, que puede ser obtenido a partir de lo que usted escribió al restringir la atención a los espacios con la homotopy tipo de CW complejos. Esto consigue deshacerse de un montón de objetos patológicos como la homotopy tipo de conjunto de Cantor.

Esta $(\infty, 1)$-de la categoría, que voy a llamar a $\text{Space}$, tiene la misma relación de a $(\infty, 1)$-categoría de teoría como $\text{Set}$ ordinario de la categoría de teoría, es decir, de la misma manera que un ordinario (a nivel local pequeño) categoría es una categoría enriqueció a lo largo de conjuntos, un $(\infty, 1)$-categoría es una categoría enriquecido más débil homotopy tipos. Además, en la misma forma en que $\text{Set}$ es el libre cocomplete categoría en un punto, se $\text{Space}$ es el libre homotopy cocomplete $(\infty, 1)$-categoría en un punto.

A un nivel más básico, una razón general para el cuidado de la trata de dar a las cosas más categórica de estructuras es darle sentido más categórico universal propiedades (tales como homotopy colimits, mencionado más arriba).